Investi €8 000 a un tasso nominale del 5 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 3 anni.
PV = €8 0005% / 4n = 3
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €12 0002,4% / 12N = 48
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €40 000 oggi e rende €15 500, €13 500, €11 500, €16 000 alla fine degli anni da 1 a 4. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €23 500, €37 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 23 500CF2 = 37 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 4 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €865 quando il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 4P = €865YTM = 7%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 20 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 390. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 390prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 5 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
E = €3 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 4%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €31,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 4%rm = 8%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 32, 20, 35, 55, 37, 60.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 20?
μ = 60σ = 20x = 20
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 8 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 8
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 5 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?
n = 5p = 0,3k = 4
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,9495. Trova z con due decimali.
A = 0,9495
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 95 % dei dati (il 95° percentile).
μ = 250σ = 5P = 95%
x = g
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 11 elementi ha media 39 e deviazione standard s = 5,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 11x̄ = 39s = 5,590%t(10) = 1,812
limite superiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 17. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 17E = 295%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 503,2 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503,2s = 10n = 81
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 0,5? La deviazione standard è 12. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 12E = 0,599%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 20,5.
n = 6x = 20,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 9286 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,9086
A = 12 000·0,002/(1 − 0,9086) = €262,44
Risposta
A = €262,44
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,559 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 15 500/1,1 = 14 090,91 → Σ = 14 090,91
anno 2: 13 500/1,21 = 11 157,02 → Σ = 25 247,93
anno 3: 11 500/1,331 = 8 640,12 → Σ = 33 888,05
anno 4: 16 000/1,464 = 10 928,22 → Σ = 44 816,27
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 6 111,95/10 928,22 = 3,559
Risposta
DPB = 3,559 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,957 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 12,68 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 1 942,15
NPV(15%) = −1 587,90
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,07)−4 = €762,90
Cedola
C = (865 − 762,90)/3,387 = €30,14
Tasso cedolare
c = 30,14/1000 = 3,014%
Risposta
c = 3,014%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 50 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1390 = 50·(1 − (1 + y)−5)/y + 1050/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 50%: €225,10
y = 50%: €225,10
YTC = 50%
Risposta
YTC = 50%
Il rendimento a scadenza è del 2,499%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,54 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·9% + 0,25·4%·(1 − 0,21) = 7,54%
Risposta
WACC = 7,54%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,426 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −2
Tavola della normale standard
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Risposta
P = 0,02275
11.Probabilità
Risposta: P = 0,7674
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Risposta
P = 0,7674
12.Probabilità
Risposta: P = 0,02835
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 4) = 5·0,34·0,71 = 5·0,0081·0,7 = 0,02835
Risposta
P = 0,02835
13.Distribuzione normale
Risposta: z = −1,64
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,9495 = 0,0505
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,0505 dentro la tabella e leggi z.
z = −1,64
Risposta
z = −1,64
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 258,2 g
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Ritorno a x
x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g
Risposta
x = 258,22 g
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 42
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Margine di errore
E = 1,812·5,5/√11 = 3,005
Intervallo
39 ± 3,005 → [36, 42]
Risposta
limite superiore = 42
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 278
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·17/2)² = 277,6
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 278
Risposta
n = 278
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,88
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Statistica test
t = (503,2 − 500)/1,111 = 2,88
Risposta
t = 2,88
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 3823
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (2,576·12/0,5)² = 3822
Arrotonda per eccesso
n = 3823
Risposta
n = 3823
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,7714
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 269/5 = 53,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 158,8
Coefficiente di determinazione
r² = 35²/(10·158,8) = 0,7714
Risposta
r² = 0,7714
Circa il 77,14% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 53,75
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 383/6 = 63,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 529,5
Retta di regressione
b = 529,5/157,5 = 3,362
a = 63,83 − 3,362·23,5 = −15,17
ŷ = −15,17 + 3,362·x
Previsione
ŷ = −15,17 + 3,362·20,5 = 53,75
Risposta
ŷ = 53,75
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