Ti servono €40 000 tra 5 anni. Un conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €40 0003% / 12n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €12 0002,4% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €8 000 alla fine di ogni anno per 7 anni e poi può essere venduta a €6 000. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €40 000CF = €8 000S = €6 000n = 7r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 500, €6 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 6 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 6% e scade tra 13 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3% al 4%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 6%n = 13y1 = 3%y2 = 4%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 10 anni e quota €1 085. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 10P = €1 085
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €21,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €12 600 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,90 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €16 800 000 e un costo al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 55 e 80 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 65σ = 10x1 = 55x2 = 80
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,02 mm e deviazione standard 0,015 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 25 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 2,3. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 99% basato su 100 osservazioni?
95%n₁ = 25E₁ = 2,399%n₂ = 100
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 23. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 23E = 290%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 80; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 6. Un campione casuale di 144 osservazioni ha media 80,72. Verifica H₀: μ = 80 contro H₁: μ ≠ 80. Trova il p-value p.
μ₀ = 80σ = 6n = 144x̄ = 80,72H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1? La deviazione standard è 10. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 10E = 195%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (22, 105). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(22, 105)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 34435 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·5 = 60
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,162 = €34 434,76
Risposta
PV = €34 434,76
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 212,4 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,887
A = 12 000·0,002/(1 − 0,887) = €212,44
Risposta
A = €212,44
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 2026 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
8 000·4,868 = 38 947,35
Valore attuale del valore residuo
6 000/1,949 = 3 078,95
NPV
NPV = −40 000 + 38 947,35 + 3 078,95 = €2 026,30
Risposta
NPV = €2 026,30
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 12,68 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 371,90
NPV(15%) = −302,46
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 10 + 5·371,90/(371,90 − (−302,46)) = 12,76%
esatto: NPV(12,68%) = 0 → IRR = 12,68%
Risposta
IRR = 12,68%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −119,3 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·8% + 0,25·4,5%·(1 − 0,28) = 6,81%
Risposta
WACC = 6,81%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,44 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (158 − 170)/10 = −1,2
Risposta
z = −1,2
11.Probabilità
Risposta: N = 21
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21
Risposta
N = 21
12.Probabilità
Risposta: σY = 13,56
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 1,6, Var(X) = 1,84, σX = 1,356
Trasformazione lineare
σY = |10|·1,356 = 13,56
Risposta
σY = 13,56
La media invece si sposta: E(Y) = 10·1,6 + 20 = 36.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,7745
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (55 − 65)/10 = −1
z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5
Area compresa
P = Φ(1,5) − Φ(−1) = 0,9332 − 0,1587 = 0,7745
Risposta
P = 0,7745
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,8665
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm
Standardizza
z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11
Probabilità
P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665
Risposta
P = 0,8665
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 1,511
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(25/100) = 0,6571
Nuovo margine
E₂ = 2,3·0,6571 = 1,511
Risposta
E₂ = 1,511
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 358
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·23/2)² = 357,9
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 358
Risposta
n = 358
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,1499
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5
z = (80,72 − 80)/0,5 = 1,44
Area della coda
Φ(1,44) = 0,9251
1 − Φ(1,44) = 0,0749
p-value
p = 2·0,0749 = 0,1499
Risposta
p = 0,1499
p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 385
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (1,96·10/1)² = 384,2
Arrotonda per eccesso
n = 385
Risposta
n = 385
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9765
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 9266 − 114·470/6 = 336
Sxx = 2236 − 114²/6 = 70
Syy = 38508 − 470²/6 = 1691
Coefficiente di correlazione
r = 336/√(70·1691) = 0,9765
Risposta
r = 0,9765
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = −4,8
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 594/6 = 99
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 378
Retta di regressione
b = 378/70 = 5,4
a = 99 − 5,4·20 = −9
ŷ = −9 + 5,4·x
Valore previsto
ŷ = −9 + 5,4·22 = 109,8
Residuo
e = 105 − 109,8 = −4,8
Risposta
e = −4,8
Il punto si trova sotto la retta.
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