Investi €5 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €5 0003% / 12n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €25 000 al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €750 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €25 000A = €7504,8% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €30 000 oggi, dura 9 anni e costa €2 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 8%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €30 000M = €2 000n = 9r = 8%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e restituisce €8 500, €15 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 8 500CF2 = 15 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 7 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 7y0 = 5%y1 = 6%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 5 anni e quota €1 040. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 5P = €1 040
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €8 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo delle azioni privilegiate del 6% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €10 000 000 e un costo del capitale proprio del 13%. Il suo debito è costituito da 8 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 7 anni alla scadenza) quotate €942 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 11, 13, 19, 13, 54.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 40,4.
μ = 50σ = 8x = 40,4
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,3, 0,25, 0,05, 0,05
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 3 €. Si vincono 15 € con probabilità 0,25 e 150 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €3€15: p = 0,25€150: p = 0,02
E(G) = €
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 70,75 e 103 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 100σ = 15x1 = 70,75x2 = 103
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,02 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,02 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 6 elementi ha media 75 e deviazione standard s = 15. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 6x̄ = 75s = 1599%t(5) = 4,032
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 8. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?
σ = 8E = 1,595%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 120,5 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 120,5s = 4n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 2 unità con una potenza del 95%. La deviazione standard è 10. Trova la dimensione minima del campione n.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6167 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,004/750 = 0,8667
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8667)/ln(1,004) = 35,85
Arrotonda a rate intere
35 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 36
Risposta
N = 36 rate
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 6802 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,08−9)/0,08 = 6,247
Prezzo d’acquisto annualizzato
30 000/6,247 = 4 802,39
EAC
EAC = 4 802,39 + 2 000 = €6 802,39
Risposta
EAC = €6 802,39
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 10,42 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 123,97
NPV(15%) = −1 266,54
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 040 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(7%) = €1 041,00, P(8%) = €1 000,00
YTM = 7,024%
Risposta
YTM = 7,024%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,32 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (40,4 − 50)/8 = −1,2
Risposta
z = −1,2
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 1,228
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 12 (p = 0,25), 147 (p = 0,02), −3 (p = 0,73)
Valore atteso
E(G) = 12·0,25 + 147·0,02 − 3·0,73 = 3,75 €
Risposta
E(G) = 3,75 €
Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,5537
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95
z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2
Area compresa
P = Φ(0,2) − Φ(−1,95) = 0,5793 − 0,02559 = 0,5537
Risposta
P = 0,5537
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,7611
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm
Standardizza
z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71
Probabilità
P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611
Risposta
P = 0,7611
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 24,69
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Margine di errore
E = 4,032·15/√6 = 24,69
Risposta
E = 24,69
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 110
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·8/1,5)² = 109,3
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 110
Risposta
n = 110
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 0,75
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Statistica test
t = (120,5 − 120)/0,6667 = 0,75
Risposta
t = 0,75
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 395
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = ((2,326 + 1,645)·10/2)² = 394,2
Arrotonda per eccesso
n = 395
Risposta
n = 395
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,997
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 4874 − 48·562/6 = 378
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 54694 − 562²/6 = 2053
Coefficiente di correlazione
r = 378/√(70·2053) = 0,997
Risposta
r = 0,997
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 11,8
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 80/5 = 16
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Retta di regressione
b = −28/10 = −2,8
a = 16 − (−2,8)·3 = 24,4
ŷ = 24,4 − 2,8·x
Previsione
ŷ = 24,4 + (−2,8)·4,5 = 11,8
Risposta
ŷ = 11,8
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