Ti servono €20 000 tra 8 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0006% / 12n = 8
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €10 000 tra 10 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €10 0003,6% / 12N = 120
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €17 000, €20 000, €15 000, €13 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €28 500, €19 000, €24 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 28 500CF2 = 19 000CF3 = 24 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 10 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) quando il suo rendimento a scadenza è del 5,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 10y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 10 anni e quota €810. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 10P = €810
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €5 000 000, azioni privilegiate per €500 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo delle azioni privilegiate del 7,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €20,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 2,5%rm = 9,5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 46, 18, 15, 37, 50, 56.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 50. Quale proporzione P dei valori è superiore a 440?
μ = 500σ = 50x = 440
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 6 palline rosse e 4 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
6 / 4
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 10 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?
n = 10p = 0,25k = 3
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9070. Trova z con due decimali.
A = 0,9070
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,05 mm e deviazione standard 0,015 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,015 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 30 telefoni, media 149,5 h, deviazione standard nota 3 h. Modello 2: 50 telefoni, media 140,5 h, deviazione standard nota 8 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Uno studio pilota indica che circa 0,15 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 99% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,04?
p ≈ 0,15E = 0,0499%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 52,4 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,4s = 20n = 100
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 500 contro H₁: μ < 500 viene eseguito con α = 0.01 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 10. In realtà la media è 498.5. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 500μ = 498,5σ = 10n = 100α = 0,01
1 − β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 12390 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·8 = 96
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,614 = €12 390,48
Risposta
PV = €12 390,48
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 69,35 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 17 000/1,1 = 15 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 20 000/1,21 = 16 528,93
CF3/(1 + 0,1)3 = 15 000/1,331 = 11 269,72
CF4/(1 + 0,1)4 = 13 000/1,464 = 8 879,17
Sommali
NPV = €−7 867,63
Risposta
NPV = €−7 867,63
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 37,9 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(35%) = 1 494,18
NPV(40%) = −1 020,41
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€810 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Risolvi numericamente
P(5%) = €845,57, P(6%) = €779,20
YTM = 5,524%
Risposta
YTM = 5,524%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,743 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,2
Tavola della normale standard
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Risposta
P = 0,8849
11.Probabilità
Risposta: P = 0,3333
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333
Risposta
P = 0,3333
12.Probabilità
Risposta: P = 0,2503
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,9070)/2 = 0,9535
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9535 dentro la tabella e leggi z.
z = 1,68
Risposta
z = 1,68
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9909
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02121 mm
Standardizza
z = (0 − 0,05)/0,02121 = −2,36
Probabilità
P = 1 − Φ(−2,36) = 0,9909
Risposta
P = 0,9909
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 12,24 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 149,5 − 140,5 = 9
Errore standard
SE = √(3²/30 + 8²/50) = 1,257
Margine di errore
E = 2,576·1,257 = 3,238
Intervallo
9 ± 3,238 → [5,762, 12,24]
Risposta
limite superiore = 12,24 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 529
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 2,576²·0,15·0,85/0,04² = 528,8
Arrotonda per eccesso
n = 529
Risposta
n = 529
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,2
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
Statistica test
t = (52,4 − 50)/2 = 1,2
Risposta
t = 1,2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 20,44 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 500 − 2,326·1 = 497,7
z sotto la media vera
z = (497,7 − 498,5)/1 = −0,826
Potenza
potenza = P(Z < −0.826) = 20.44%
1 − β = 20,44%
Risposta
1 − β = 20,44%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9113
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 1272 − 25·251/5 = 17
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 12635 − 251²/5 = 34,8
Coefficiente di correlazione
r = 17/√(10·34,8) = 0,9113
Risposta
r = 0,9113
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 24,35
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 115/5 = 23
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Retta di regressione
b = −27/10 = −2,7
a = 23 − (−2,7)·3 = 31,1
ŷ = 31,1 − 2,7·x
Previsione
ŷ = 31,1 + (−2,7)·2,5 = 24,35
Risposta
ŷ = 24,35
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