Ti servono €10 000 tra 8 anni. Un conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0004,8% / 4n = 8
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €50 000 tra 10 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €50 0005,4% / 12N = 120
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €200 000 oggi. Genera €16 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €16 000g = 3%r = 9%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e restituisce €8 000, €13 000, €12 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 13 000CF3 = 12 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 8%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 10 anni e quota €810. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 10P = €810
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €3 000 000. Il suo WACC è del 10,1%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €55,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €83 300 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,70 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €138 800 000 e un costo al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 36, 36, 33, 21, 47, 37.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Trova il punteggio z z di un voto pari a 510.
μ = 500σ = 25x = 510
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 5X + 1. Trova la deviazione standard σY di Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,35, 0,2Y = 5X + 1
σY =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9576. Trova z con due decimali.
A = 0,9576
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 50 telefoni, media 67,5 h, deviazione standard nota 13 h. Modello 2: 100 telefoni, media 76 h, deviazione standard nota 17 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
I diametri di 21 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 7,4 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 20, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 9,591 e il 2,5% sopra 34,17.
n = 21s = 7,4 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 123,8 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 123,8s = 20n = 81
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 4E = 399%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 10.
n = 5x = 10
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 6827 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·8 = 32
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,465 = €6 826,90
Risposta
PV = €6 826,90
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 315,2 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 16 000/(0,09 − 0,03) = 266 666,67
NPV
NPV = 266 666,67 − 200 000 = €66 666,67
Risposta
NPV = €66 666,67
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 28,47 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 1 120,00
NPV(30%) = −464,27
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,04, N = 6
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,7903)/0,04 = €52,42
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7903 = €790,31
Prezzo
P = €842,74
Risposta
P = €842,74
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,524 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€810 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Risolvi numericamente
P(5%) = €845,57, P(6%) = €779,20
YTM = 5,524%
Risposta
YTM = 5,524%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 13 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
Parte del debito nel WACC
0,2727·3%·(1 − 0,21) = 0,6464%
Costo del capitale proprio
re = (10,1% − 0,6464%)/0,7273 = 13%
Risposta
re = 13%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,923 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (510 − 500)/25 = 0,4
Risposta
z = 0,4
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 0,6475
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Varianza
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
Risposta
Var(X) = 0,6475
12.Probabilità
Risposta: σY = 5,362
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 1,5, Var(X) = 1,15, σX = 1,072
Trasformazione lineare
σY = |5|·1,072 = 5,362
Risposta
σY = 5,362
La media invece si sposta: E(Y) = 5·1,5 + 1 = 8,5.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 2,03
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,9576)/2 = 0,9788
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9788 dentro la tabella e leggi z.
z = 2,03
Risposta
z = 2,03
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,7881
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standardizza
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Probabilità
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Risposta
P = 0,7881
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = −4,381 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 67,5 − 76 = −8,5
Errore standard
SE = √(13²/50 + 17²/100) = 2,504
Margine di errore
E = 1,645·2,504 = 4,119
Intervallo
−8,5 ± 4,119 → [−12,62, −4,381]
Risposta
limite superiore = −4,381 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 5,661 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 20·7,4² = 1095
Limiti per σ²
1095/34,17 = 32,05
1095/9,591 = 114,2
Limite per σ
σ = √32,05 = 5,661 µm
Risposta
σ = 5,661 µm
Intervallo al 95% per σ: [5,661, 10,69] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,71
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
Statistica test
t = (123,8 − 120)/2,222 = 1,71
Risposta
t = 1,71
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 12
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (2,576·4/3)² = 11,8
Arrotonda per eccesso
n = 12
Risposta
n = 12
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9633
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 213/5 = 42,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
Syy = Σ(y − ȳ)² = 349,2
Coefficiente di determinazione
r² = 116²/(40·349,2) = 0,9633
Risposta
r² = 0,9633
Circa il 96,33% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 87,75
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 381/5 = 76,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154
Retta di regressione
b = 154/40 = 3,85
a = 76,2 − 3,85·7 = 49,25
ŷ = 49,25 + 3,85·x
Previsione
ŷ = 49,25 + 3,85·10 = 87,75
Risposta
ŷ = 87,75
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