Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 20%, capitalizzato mensilmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 20%m = 12
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €15 0004,8% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €13 000, €12 000, €13 000, €18 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e restituisce €8 500, €7 500, €12 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 8 500CF2 = 7 500CF3 = 12 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 3 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 6%) quando il suo rendimento a scadenza è del 8%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 9,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 3y0 = 8%y1 = 9,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 5 anni e quota €935. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 5P = €935
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,2. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio è del 3% e il premio per il rischio di mercato è del 5,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,2D/E = 0,5T = 20%rf = 3%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 36, 44, 39, 33, 21.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 75. Trova il punteggio z z di un voto pari a 462,5.
μ = 500σ = 75x = 462,5
z =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 4 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 4
P =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 0,5X + 1. Trova la deviazione standard σY di Y.
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Quale frazione è compresa tra 172,4 e 179,75 cm? Dai P come numero decimale.
μ = 178σ = 7x1 = 172,4x2 = 179,75
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 15% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 8 elementi ha media 46 e deviazione standard s = 16,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 8x̄ = 46s = 16,599%t(7) = 3,499
limite superiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Uno studio pilota indica che circa 0,15 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 99% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,03?
p ≈ 0,15E = 0,0399%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
20 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 1,14 e la deviazione standard delle differenze è 3. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 1,14sd = 3
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1,5? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 4E = 1,595%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (18,5, 89). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(18,5, 89)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 21,94 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,2/12 = 0,01667
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,01667)12 − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%
Risposta
EAR = 21,94%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 281,7 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,787
A = 15 000·0,004/(1 − 0,787) = €281,70
Risposta
A = €281,70
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −1203 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 13 000/1,1 = 11 818,18
CF2/(1 + 0,1)2 = 12 000/1,21 = 9 917,36
CF3/(1 + 0,1)3 = 13 000/1,331 = 9 767,09
CF4/(1 + 0,1)4 = 18 000/1,464 = 12 294,24
Sommali
NPV = €−1 203,13
Risposta
NPV = €−1 203,13
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 18,58 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 1 281,33
NPV(20%) = −474,54
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(5%) = €956,71, P(6%) = €915,75
YTM = 5,523%
Risposta
YTM = 5,523%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,112 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·11% + 0,75·4,5%·(1 − 0,3) = 5,112%
Risposta
WACC = 5,112%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 12,24 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,2·(1 + 0,8·0,5) = 1,68
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3% + 1,68·5,5% = 12,24%
Risposta
re = 12,24%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 8,62
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (462,5 − 500)/75 = −0,5
Risposta
z = −0,5
11.Probabilità
Risposta: P = 0,5177
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Risposta
P = 0,5177
12.Probabilità
Risposta: σY = 0,7416
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 2, Var(X) = 2,2, σX = 1,483
Trasformazione lineare
σY = |0,5|·1,483 = 0,7416
Risposta
σY = 0,7416
La media invece si sposta: E(Y) = 0,5·2 + 1 = 2.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,3869
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (172,4 − 178)/7 = −0,8
z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25
Area compresa
P = Φ(0,25) − Φ(−0,8) = 0,5987 − 0,2119 = 0,3869
Risposta
P = 0,3869
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 244,8 g
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,15
z dalla tabella
z ≈ −1,04
Di nuovo nelle unità originali
x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g
Risposta
x = 244,8 g
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 66,41
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Margine di errore
E = 3,499·16,5/√8 = 20,41
Intervallo
46 ± 20,41 → [25,59, 66,41]
Risposta
limite superiore = 66,41
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 941
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 2,576²·0,15·0,85/0,03² = 940,1
Arrotonda per eccesso
n = 941
Risposta
n = 941
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,699
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Errore standard della differenza media
SE = 3/√20 = 0,6708
Statistica test
t = 1,14/0,6708 = 1,699
Risposta
t = 1,699
Con df = 19, il valore critico bilaterale al 5% è 2,093; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 28
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (1,96·4/1,5)² = 27,32
Arrotonda per eccesso
n = 28
Risposta
n = 28
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9918
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 2190 − 35·294/5 = 132
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 17730 − 294²/5 = 442,8
Coefficiente di correlazione
r = 132/√(40·442,8) = 0,9918
Risposta
r = 0,9918
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = −2,838
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 670/6 = 111,7
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 1041
Retta di regressione
b = 1041/157,5 = 6,61
a = 111,7 − 6,61·21,5 = −30,44
ŷ = −30,44 + 6,61·x
Valore previsto
ŷ = −30,44 + 6,61·18,5 = 91,84
Residuo
e = 89 − 91,84 = −2,838
Risposta
e = −2,838
Il punto si trova sotto la retta.
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