Investi €5 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €5 0003% / 4n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 6? Trova il debito residuo B.
P = €150 0003,6% / 12N = 240k = 72
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €6 000, €8 000, €10 000, €8 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €6 000, €4 500, €6 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 4 500CF3 = 6 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4,5% e scade tra 9 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 9% al 11%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 4,5%n = 9y1 = 9%y2 = 11%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 4 anni e quota €1 075. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 4P = €1 075
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,5. Il suo costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
D/E = 0,5re = 10%rd = 7%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €54,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 2,5%rm = 8%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 53, 39, 29, 40, 37, 39.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 40?
μ = 50σ = 20x = 40
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,35, 0,1, 0,15
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 11 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?
n = 11p = 0,5k = 3
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 88,75 e 127,75 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 100σ = 15x1 = 88,75x2 = 127,75
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 9 elementi ha media 79 e deviazione standard s = 12. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 9x̄ = 79s = 1290%t(8) = 1,86
limite superiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Non si sa nulla in anticipo sulla proporzione di prodotti difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,04?
p = 0,5E = 0,0495%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 79,83 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 79,83s = 10n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 105 pazienti su 150 con il trattamento A guariscono, e 165 su 250 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 150x₂ = 165n₂ = 250
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 5Σx = 20Σy = 240Σx² = 90Σy² = 11590Σxy = 984
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 10?
n = 6ŷ = 10
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6164 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,003, N = 240
A = 150 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−240) = €877,67
Valore attuale delle rate rimanenti
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 240 − 72 = 168
B = 877,7·(1 − (1 + 0,003)−168)/0,003 = €115 686,67
Risposta
B = €115 686,67
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 6861 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 6 000/1,07 = 5 607,48
CF2/(1 + 0,07)2 = 8 000/1,145 = 6 987,51
CF3/(1 + 0,07)3 = 10 000/1,225 = 8 162,98
CF4/(1 + 0,07)4 = 8 000/1,311 = 6 103,16
Sommali
NPV = €6 861,13
Risposta
NPV = €6 861,13
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 31,67 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 236,69
NPV(35%) = −444,55
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 30 + 5·236,69/(236,69 − (−444,55)) = 31,74%
esatto: NPV(31,67%) = 0 → IRR = 31,67%
Risposta
IRR = 31,67%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −90,12 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 075 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 076,15, P(3%) = €1 037,17
YTM = 2,029%
Risposta
YTM = 2,029%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,533 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·10% + 0,3333·7%·(1 − 0,2) = 8,533%
Risposta
WACC = 8,533%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,703 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 1 000 000·€54,50 = €54 500 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,5·5,5% = 10,75%
Pesi
V = €64 500 000, E/V = 0,845, D/V = 0,155
WACC
WACC = 0,845·10,75% + 0,155·5%·(1 − 0,2) = 9,703%
Risposta
WACC = 9,703%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 7,74
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 1,91
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75
z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85
Area compresa
P = Φ(1,85) − Φ(−0,75) = 0,9678 − 0,2266 = 0,7412
Risposta
P = 0,7412
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,7881
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standardizza
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Probabilità
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Risposta
P = 0,7881
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 86,44
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Margine di errore
E = 1,86·12/√9 = 7,44
Intervallo
79 ± 7,44 → [71,56, 86,44]
Risposta
limite superiore = 86,44
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 601
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2
Arrotonda per eccesso
n = 601
Risposta
n = 601
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,898
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Statistica test
t = (79,83 − 75)/1,667 = 2,898
Risposta
t = 2,898
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 0,8269
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 105/150 = 0,7
p̂₂ = 165/250 = 0,66
p̂ = 270/400 = 0,675
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,675·0,325·(1/150 + 1/250)) = 0,04837
Statistica test
z = (0,7 − 0,66)/0,04837 = 0,8269
Risposta
z = 0,8269
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9071
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 984 − 20·240/5 = 24
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 11590 − 240²/5 = 70
Coefficiente di correlazione
r = 24/√(10·70) = 0,9071
Risposta
r = 0,9071
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 3,111
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 149/6 = 24,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 267
Retta di regressione
b = 267/70 = 3,814
a = 24,83 − 3,814·7 = −1,867
ŷ = −1,867 + 3,814·x
Risolvi per x
x = (10 − (−1,867))/3,814 = 3,111
Risposta
x = 3,111
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