Una rendita paga €1 500 alla fine di ogni anno per 4 anni. Il tasso di interesse è il 5% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €1 500i = 5%n = 4
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €300 alla fine di ogni mese per 29 anni. Il conto rende il 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €3002,4% / 12N = 348
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €11 000, €10 000, €9 000, €17 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e restituisce €8 000, €9 000, €8 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 9 000CF3 = 8 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 7 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4,5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 2%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 7y0 = 3%y1 = 2%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 3 anni e quota €1 055. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 3P = €1 055
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,2 ha un rendimento richiesto del 8,8%. Il tasso privo di rischio è del 1%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,2re = 8,8%rf = 1%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni quotate €32,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €76 800 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,00 per azione, e i dividendi crescono del 4% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €76 800 000 e un costo al lordo delle imposte del 6%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 20, 37, 42, 56, 47, 60.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 94.
μ = 70σ = 12x = 94
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25
σ =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = −2X + 4. Trova la deviazione standard σY di Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = −2X + 4
σY =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 242,75 e 252,5 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 242,75x2 = 252,5
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 75 % dei dati (il 75° percentile).
μ = 100σ = 15P = 75%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 10 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −5,1 e deviazione standard 2,2. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per la differenza media.
n = 10d̄ = −5,1sd = 2,290%t(9) = 1,833
limite superiore = mmHg
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 12 parcelle, resa media 45,5 kg, deviazione standard 8 kg. Gruppo di parcelle 2: 19 parcelle, media 50,5 kg, deviazione standard 7 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 13 studenti, punteggio medio 46, deviazione standard 11. Gruppo 2: 18 studenti, punteggio medio 57,5, deviazione standard 8,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 13x̄₁ = 46s₁ = 11n₂ = 18x̄₂ = 57,5s₂ = 8,5
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 4 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 9. Trova la dimensione minima del campione n.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 16?
n = 6ŷ = 16
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 5319 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,8227)/0,05 = 3,546
Valore attuale
PV = 1 500·3,546 = €5 318,93
Risposta
PV = €5 318,93
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 150648 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 11 000/1,1 = 10 000,00
CF2/(1 + 0,1)2 = 10 000/1,21 = 8 264,46
CF3/(1 + 0,1)3 = 9 000/1,331 = 6 761,83
CF4/(1 + 0,1)4 = 17 000/1,464 = 11 611,23
Sommali
NPV = €−8 362,48
Risposta
NPV = €−8 362,48
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 13,05 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 1 096,92
NPV(15%) = −649,30
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 083,25, P(5%) = €1 054,46
YTM = 4,981%
Risposta
YTM = 4,981%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 7,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (8,8% − 1%)/1,2 = 6,5%
Rendimento di mercato
rm = 1% + 6,5% = 7,5%
Risposta
rm = 7,5%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,106 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 1·1,04 = €1,04
re = 1,04/32 + 0,04 = 7,25%
Valori di mercato
E = 4 000 000·€32,00 = €128 000 000
V = €204 800 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·7,25% + 0,375·6%·(1 − 0,3) = 6,106%
Risposta
WACC = 6,106%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 14,4
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (94 − 70)/12 = 2
Risposta
z = 2
11.Probabilità
Risposta: σ = 1,161
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,25 = 2,45
Media dei quadrati
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,25 = 7,35
Varianza
Var(X) = 7,35 − 2,45² = 1,347
σ = √1,347 = 1,161
Risposta
σ = 1,161
12.Probabilità
Risposta: σY = 1,673
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367
Trasformazione lineare
σY = |−2|·0,8367 = 1,673
Risposta
σY = 1,673
La media invece si sposta: E(Y) = −2·1 + 4 = 2.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,6179
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (242,75 − 250)/5 = −1,45
z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5
Area compresa
P = Φ(0,5) − Φ(−1,45) = 0,6915 − 0,07353 = 0,6179
Risposta
P = 0,6179
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 110,1 punti
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Ritorno a x
x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 punti
Risposta
x = 110,12 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = −3,825 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 9, t = 1,833
Margine di errore
E = 1,833·2,2/√10 = 1,275
Intervallo
−5,1 ± 1,275 → [−6,375, −3,825]
Risposta
limite superiore = −3,825 mmHg
16.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −9,633 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (11·8² + 18·7²)/29 = 54,69
sp = 7,395
Margine di errore
E = 1,699·7,395·√(1/12 + 1/19) = 4,633
Intervallo
−5 ± 4,633 → [−9,633, −0,367]
Risposta
limite inferiore = −9,633 kg
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −3,287
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (12·11² + 17·8,5²)/29 = 92,42
sp = 9,614
Errore standard
SE = 9,614·√(1/13 + 1/18) = 3,499
Statistica test
t = (46 − 57,5)/3,499 = −3,287
Risposta
t = −3,287
Con df = 29, il valore critico bilaterale al 5% è 2,045; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 44
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = ((1,645 + 1,282)·9/4)² = 43,37
Arrotonda per eccesso
n = 44
Risposta
n = 44
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,8668
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 128/6 = 21,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 59,33
Coefficiente di determinazione
r² = −30²/(17,5·59,33) = 0,8668
Risposta
r² = 0,8668
Circa il 86,68% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 5,502
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 119/6 = 19,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33,5
Retta di regressione
b = −33,5/17,5 = −1,914
a = 19,83 − (−1,914)·3,5 = 26,53
ŷ = 26,53 − 1,914·x
Risolvi per x
x = (16 − 26,53)/(−1,914) = 5,502
Risposta
x = 5,502
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