Investi €3 000 a un tasso nominale del 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 5 anni.
PV = €3 0004% / 12n = 5
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €500 alla fine di ogni mese per 10 anni. Il conto rende il 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €5005,4% / 12N = 120
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €500 000 oggi. Genera €32 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €500 000CF1 = €32 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €25 000 rende €6 500 alla fine di ogni anno per 8 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €25 000CF = €6 500n = 8
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 2,5%n = 8
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 10 anni e quota €870. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 10P = €870
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €27,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 4%rm = 10%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 45, 18, 22, 37, 47, 39.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 10. Trova il punteggio z z di un voto pari a 35.
μ = 50σ = 10x = 35
z =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 8 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 8
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 8 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 8p = 0,25
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Le masse di passeggeri con bagaglio sono indipendenti e normali con media 85 kg e deviazione standard 12 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 8 di essi superi 713,9 kg. Arrotonda z a due decimali.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 713,9 kg
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 95% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 65 puntiσ = 10 punti95%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 10 elementi ha media 32,5 e deviazione standard s = 12,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 10x̄ = 32,5s = 12,599%t(9) = 3,25
limite superiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 13. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?
σ = 13E = 190%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 52,1 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,1s = 8n = 64
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 64 misure ha media 75,2. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 75,2σ = 15n = 6490%
L =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 5Σx = 30Σy = 70Σx² = 220Σy² = 1204Σxy = 514
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 16?
n = 5ŷ = 16
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 3663 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 32 000/(0,1 − 0,03) = 457 142,86
NPV
NPV = 457 142,86 − 500 000 = −€42 857,14
Risposta
NPV = −€42 857,14
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 19,92 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−8)/i = 25 000/6 500 = 3,846
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 19%: 3,954
i = 20%: 3,837
IRR = 19,92%
Risposta
IRR = 19,92%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1252 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,0125, N = 16
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,8197)/0,0125 = €432,61
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8197 = €819,75
Prezzo
P = €1 252,36
Risposta
P = €1 252,36
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 9,028 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€870 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Risolvi numericamente
P(9%) = €871,65, P(10%) = €815,66
YTM = 9,028%
Risposta
YTM = 9,028%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 12,99 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
WACC
WACC = 0,8889·14% + 0,1111·7%·(1 − 0,3) = 12,99%
Risposta
WACC = 12,99%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,53 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (35 − 50)/10 = −1,5
Risposta
z = −1,5
11.Probabilità
Risposta: P = 0,7674
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Risposta
P = 0,7674
12.Probabilità
Risposta: P = 0,3671
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,758 = 0,1001
P(X = 1) = 8·0,25·0,757 = 0,267
Sommale
P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671
Risposta
P = 0,3671
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,1587
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione del totale
μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33,94 kg
Standardizza
z = (713,9 − 680)/33,94 = 1
Probabilità
P = 1 − Φ(1) = 0,1587
Risposta
P = 0,1587
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 81,4 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,95
z dalla tabella
z ≈ 1,64
Di nuovo nelle unità originali
x = 65 + 1,64·10 = 81,4 punti
Risposta
x = 81,4 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 45,35
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Margine di errore
E = 3,25·12,5/√10 = 12,85
Intervallo
32,5 ± 12,85 → [19,65, 45,35]
Risposta
limite superiore = 45,35
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 458
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·13/1)² = 457,3
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 458
Risposta
n = 458
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,1
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Statistica test
t = (52,1 − 50)/1 = 2,1
Risposta
t = 2,1
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 72,12
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·15/√64 = 3,084
Limite dell'intervallo
L = 75,2 − 3,084 = 72,12
Risposta
L = 72,12
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9931
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 514 − 30·70/5 = 94
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1204 − 70²/5 = 224
Coefficiente di correlazione
r = 94/√(40·224) = 0,9931
Risposta
r = 0,9931
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 5,119
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 93/5 = 18,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Retta di regressione
b = 118/40 = 2,95
a = 18,6 − 2,95·6 = 0,9
ŷ = 0,9 + 2,95·x
Risolvi per x
x = (16 − 0,9)/2,95 = 5,119
Risposta
x = 5,119
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