Una rendita paga €5 000 alla fine di ogni anno per 17 anni. Il tasso di interesse è il 8% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €5 000i = 8%n = 17
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 25? Trova il debito residuo B.
P = €200 0007,2% / 12N = 360k = 300
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €14 000, €12 000, €14 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €100 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €13 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 9. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €13 500g = 4%n = 9r = 8%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 7%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 6 anni e quota €1 075. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 6P = €1 075
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €33,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 3%rm = 7,5%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 48, 15, 45, 10, 43, 58, 32.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 66?
μ = 50σ = 8x = 66
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 2 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 2
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 9 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 9p = 0,25
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 45 e 85 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 65σ = 10x1 = 45x2 = 85
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 90 % dei dati (il 90° percentile).
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 100 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 1,7. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 25 osservazioni?
99%n₁ = 100E₁ = 1,7n₂ = 25
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 20 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 10 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 19, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 8,907 e il 2,5% sopra 32,852.
n = 20s = 10 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 193,5 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 193,5s = 20n = 64
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 0,5? La deviazione standard è 15. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 15E = 0,595%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5, 61). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(5, 61)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 45608 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2703)/0,08 = 9,122
Valore attuale
PV = 5 000·9,122 = €45 608,19
Risposta
PV = €45 608,19
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 68235 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 300 = 60
B = 1358·(1 − (1 + 0,006)−60)/0,006 = €68 234,68
Risposta
B = €68 234,68
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 3163 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 14 000/1,1 = 12 727,27
CF2/(1 + 0,1)2 = 12 000/1,21 = 9 917,36
CF3/(1 + 0,1)3 = 14 000/1,331 = 10 518,41
Sommali
NPV = €3 163,04
Risposta
NPV = €3 163,04
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2803 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,04)/(1,08))9 = 0,712
PV = 13 500/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,712) = 97 196,54
NPV
NPV = 97 196,54 − 100 000 = −€2 803,46
Risposta
NPV = −€2 803,46
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 792,1 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,035, N = 10
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,7089)/0,035 = €83,17
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7089 = €708,92
Prezzo
P = €792,08
Risposta
P = €792,08
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,499 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 075 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Risolvi numericamente
P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17
YTM = 5,499%
Risposta
YTM = 5,499%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,773 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·11% + 0,3333·6%·(1 − 0,28) = 8,773%
Risposta
WACC = 8,773%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,646 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 2
Tavola della normale standard
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
11.Probabilità
Risposta: P = 0,3056
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Risposta
P = 0,3056
12.Probabilità
Risposta: P = 0,3003
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,759 = 0,07508
P(X = 1) = 9·0,25·0,758 = 0,2253
Sommale
P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003
Risposta
P = 0,3003
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9545
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (45 − 65)/10 = −2
z₂ = (85 − 65)/10 = 2
Area compresa
P = Φ(2) − Φ(−2) = 0,9772 − 0,02275 = 0,9545
Risposta
P = 0,9545
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 187 cm
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Ritorno a x
x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm
Risposta
x = 186,97 cm
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 3,4
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/25) = 2
Nuovo margine
E₂ = 1,7·2 = 3,4
Risposta
E₂ = 3,4
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 14,61 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 19·10² = 1900
Limiti per σ²
1900/32,852 = 57,84
1900/8,907 = 213,3
Limite per σ
σ = √213,3 = 14,61 µm
Risposta
σ = 14,61 µm
Intervallo al 95% per σ: [7,605, 14,61] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,6
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
Statistica test
t = (193,5 − 200)/2,5 = −2,6
Risposta
t = −2,6
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 3458
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (1,96·15/0,5)² = 3457
Arrotonda per eccesso
n = 3458
Risposta
n = 3458
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9276
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 252/5 = 50,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154
Syy = Σ(y − ȳ)² = 639,2
Coefficiente di determinazione
r² = 154²/(40·639,2) = 0,9276
Risposta
r² = 0,9276
Circa il 92,76% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = −2,338
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 445/6 = 74,17
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 379
Retta di regressione
b = 379/70 = 5,414
a = 74,17 − 5,414·7 = 36,27
ŷ = 36,27 + 5,414·x
Valore previsto
ŷ = 36,27 + 5,414·5 = 63,34
Residuo
e = 61 − 63,34 = −2,338
Risposta
e = −2,338
Il punto si trova sotto la retta.
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