Investi €2 000 al 4% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 8 anni.
PV = €2 000r = 4%t = 8
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni al 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €20 0004,2% / 12N = 60
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €12 000, €14 000, €11 000, €12 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €19 000, €31 000, €32 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 19 000CF2 = 31 000CF3 = 32 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 5,5%n = 7
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 3 anni e quota €935. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 3P = €935
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €46,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €115 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,60 per azione, e i dividendi crescono del 4% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €230 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 49, 59, 12, 29, 30, 31.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 167,5?
μ = 170σ = 5x = 167,5
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 5 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 5
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 10 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 10p = 0,3
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 62 e 80 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 65σ = 10x1 = 62x2 = 80
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,05 mm e deviazione standard 0,015 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,02 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 elementi ha media 42,5 e deviazione standard s = 15. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 25x̄ = 42,5s = 1595%t(24) = 2,064
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 21 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 1,1 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 20, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 9,591 e il 2,5% sopra 34,17.
n = 21s = 1,1 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 45,5 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 45,5s = 10n = 16
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 81 misure ha media 49,9. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 49,9σ = 4n = 8190%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 50?
n = 6ŷ = 50
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2754 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,04·8 = 0,32
e0,32 = 1,377
Valore futuro
FV = 2 000·1,377 = €2 754,26
Risposta
FV = €2 754,26
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 2208 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,0035, N = 60
A = 20 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−60) = €370,14
Interessi totali
I = N·A − P = 60·370,1 − 20 000 = €2 208,30
Risposta
I = €2 208,30
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 8940 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 12 000/1,1 = 10 909,09
CF2/(1 + 0,1)2 = 14 000/1,21 = 11 570,25
CF3/(1 + 0,1)3 = 11 000/1,331 = 8 264,46
CF4/(1 + 0,1)4 = 12 000/1,464 = 8 196,16
Sommali
NPV = €8 939,96
Risposta
NPV = €8 939,96
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 26,75 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 1 424,00
NPV(30%) = −2 476,10
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,0275, N = 14
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,684)/0,0275 = €459,64
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,684 = €684,00
Prezzo
P = €1 143,64
Risposta
P = €1 143,64
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,547 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(8%) = €948,46, P(9%) = €924,06
YTM = 8,547%
Risposta
YTM = 8,547%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,77 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 2,6·1,04 = €2,70
re = 2,704/46 + 0,04 = 9,878%
Valori di mercato
E = 5 000 000·€46,00 = €230 000 000
V = €460 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9,878% + 0,5·3%·(1 − 0,258) = 6,052%
Risposta
WACC = 6,052%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 16,6
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Risposta
P = 0,6915
11.Probabilità
Risposta: P = 0,5981
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Risposta
P = 0,5981
12.Probabilità
Risposta: P = 0,1493
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,710 = 0,02825
P(X = 1) = 10·0,3·0,79 = 0,1211
Sommale
P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493
Risposta
P = 0,1493
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,5511
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3
z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5
Area compresa
P = Φ(1,5) − Φ(−0,3) = 0,9332 − 0,3821 = 0,5511
Risposta
P = 0,5511
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9772
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm
Standardizza
z = (0 − 0,05)/0,025 = −2
Probabilità
P = 1 − Φ(−2) = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 6,192
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Margine di errore
E = 2,064·15/√25 = 6,192
Risposta
E = 6,192
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 1,588 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 20·1,1² = 24,2
Limiti per σ²
24,2/34,17 = 0,7082
24,2/9,591 = 2,523
Limite per σ
σ = √2,523 = 1,588 µm
Risposta
σ = 1,588 µm
Intervallo al 95% per σ: [0,8416, 1,588] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5
Statistica test
t = (45,5 − 50)/2,5 = −1,8
Risposta
t = −1,8
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 50,63
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·4/√81 = 0,7311
Limite dell'intervallo
U = 49,9 + 0,7311 = 50,63
Risposta
U = 50,63
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9205
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 98/5 = 19,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 79,2
Coefficiente di determinazione
r² = −27²/(10·79,2) = 0,9205
Risposta
r² = 0,9205
Circa il 92,05% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 3,575
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 326/6 = 54,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82
Retta di regressione
b = 82/17,5 = 4,686
a = 54,33 − 4,686·4,5 = 33,25
ŷ = 33,25 + 4,686·x
Risolvi per x
x = (50 − 33,25)/4,686 = 3,575
Risposta
x = 3,575
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