Investi €8 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 6 anni.
PV = €8 0002% / 4n = 6
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 9? Trova il debito residuo B.
P = €150 0006% / 12N = 300k = 108
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €500 000 oggi. Genera €27 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €500 000CF1 = €27 000g = 4%r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e restituisce €24 500, €25 500, €30 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 24 500CF2 = 25 500CF3 = 30 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 2,5%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 5 anni e quota €955. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 5P = €955
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1,5. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
D/E = 1,5re = 13%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,9. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il premio per il rischio di mercato è del 7%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,9D/E = 0,4T = 20%rf = 1,5%rm − rf = 7%
re = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 31, 55, 22, 50, 28.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 72?
μ = 60σ = 12x = 72
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 4 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
3 / 4
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 5 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?
n = 5p = 0,4k = 2
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Le masse di scatole sono indipendenti e normali con media 12 kg e deviazione standard 0,8 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 9 di essi superi 104,4 kg. Arrotonda z a due decimali.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9> 104,4 kg
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 80 % dei dati (il 80° percentile).
μ = 65σ = 10P = 80%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 30 elementi ha media 17,5 e deviazione standard s = 19,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 30x̄ = 17,5s = 19,590%t(29) = 1,699
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 14 parcelle, resa media 58 kg, deviazione standard 5,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 7 parcelle, media 48,5 kg, deviazione standard 1,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 50 pezzi ha lunghezza media 103,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 14 mm. Linea 2: un campione di 60 pezzi ha media 112,1 mm, deviazione standard nota 16 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 88 pazienti su 250 con il trattamento A guariscono, e 21 su 80 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 21n₂ = 80
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 9017 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,005, N = 300
A = 150 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−300) = €966,45
Valore attuale delle rate rimanenti
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 300 − 108 = 192
B = 966,5·(1 − (1 + 0,005)−192)/0,005 = €119 103,65
Risposta
B = €119 103,65
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −50000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 27 000/(0,1 − 0,04) = 450 000,00
NPV
NPV = 450 000,00 − 500 000 = −€50 000,00
Risposta
NPV = −€50 000,00
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 26,66 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 1 280,00
NPV(30%) = −2 410,10
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,0125, N = 6
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,9282)/0,0125 = €229,84
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,9282 = €928,17
Prezzo
P = €1 158,02
Risposta
P = €1 158,02
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,011 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€955 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(4%) = €955,48, P(5%) = €913,41
YTM = 4,011%
Risposta
YTM = 4,011%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,6 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·5%·(1 − 0,2) = 7,6%
Risposta
WACC = 7,6%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 9,816 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,9·(1 + 0,8·0,4) = 1,188
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,188·7% = 9,816%
Risposta
re = 9,816%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 14,45
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1
Tavola della normale standard
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
11.Probabilità
Risposta: P = 0,1429
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429
Risposta
P = 0,1429
12.Probabilità
Risposta: P = 0,3456
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 2) = 10·0,42·0,63 = 10·0,16·0,216 = 0,3456
Risposta
P = 0,3456
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9332
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione del totale
μT = 108 kg, σT = 0,8·√9 = 2,4 kg
Standardizza
z = (104,4 − 108)/2,4 = −1,5
Probabilità
P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332
Risposta
P = 0,9332
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 73,42 punti
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Ritorno a x
x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 punti
Risposta
x = 73,42 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 11,45
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Margine di errore
E = 1,699·19,5/√30 = 6,049
Intervallo
17,5 ± 6,049 → [11,45, 23,55]
Risposta
limite inferiore = 11,45
16.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 5,797 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (13·5,5² + 6·1,5²)/19 = 21,41
sp = 4,627
Margine di errore
E = 1,729·4,627·√(1/14 + 1/7) = 3,703
Intervallo
9,5 ± 3,703 → [5,797, 13,2]
Risposta
limite inferiore = 5,797 kg
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −3,006
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(14²/50 + 16²/60) = √8,187 = 2,861
Statistica test
z = (103,5 − 112,1)/2,861 = −3,006
Risposta
z = −3,006
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 1,481
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 88/250 = 0,352
p̂₂ = 21/80 = 0,2625
p̂ = 109/330 = 0,3303
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,3303·0,6697·(1/250 + 1/80)) = 0,06041
Statistica test
z = (0,352 − 0,2625)/0,06041 = 1,481
Risposta
z = 1,481
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9762
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 98/6 = 16,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Syy = Σ(y − ȳ)² = 253,3
Coefficiente di correlazione
r = 130/√(70·253,3) = 0,9762
Risposta
r = 0,9762
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 60,58
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 394/6 = 65,67
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89
Retta di regressione
b = 89/17,5 = 5,086
a = 65,67 − 5,086·5,5 = 37,7
ŷ = 37,7 + 5,086·x
Previsione
ŷ = 37,7 + 5,086·4,5 = 60,58
Risposta
ŷ = 60,58
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