Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 16%, capitalizzato trimestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 16%m = 4
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €3 000 all’inizio di ogni anno per 15 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 7% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 15? Trova FV.
A = €3 000i = 7%n = 15
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €14 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 2% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €14 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €5 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 8. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €5 500g = 4%n = 8r = 12%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 6 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €815 quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 6P = €815YTM = 8%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 5 anni e quota €895. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 5P = €895
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,25. Il suo costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
D/E = 0,25re = 14%rd = 5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €59,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 4%rm = 9,5%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 25, 45, 27, 21, 40.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 50. Trova il punteggio z z di un voto pari a 520.
μ = 500σ = 50x = 520
z =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 2 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 2
P =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 5X + 20. Trova la deviazione standard σY di Y.
Le masse di scatole sono indipendenti e normali con media 12 kg e deviazione standard 0,8 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 12 di essi superi 149,5 kg. Arrotonda z a due decimali.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12> 149,5 kg
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,03 mm e deviazione standard 0,01 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 100 telefoni, media 109,5 h, deviazione standard nota 5 h. Modello 2: 40 telefoni, media 124,5 h, deviazione standard nota 15 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 19. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?
σ = 19E = 1,590%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
20 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 6,35 e la deviazione standard delle differenze è 7,1. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 6,35sd = 7,1
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 4 unità con una potenza del 80%. La deviazione standard è 19. Trova la dimensione minima del campione n.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 168?
n = 6ŷ = 168
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 16,99 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,16/4 = 0,04
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,04)4 − 1 = 1,17 − 1 = 16,99%
Risposta
EAR = 16,99%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 80664 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,07)15 − 1)/0,07 = 25,13
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 3 000·25,13·1,07 = €80 664,16
Risposta
FV = €80 664,16
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −50000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 14 000/(0,09 − 0,02) = 200 000,00
NPV
NPV = 200 000,00 − 250 000 = −€50 000,00
Risposta
NPV = −€50 000,00
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −19251 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,04)/(1,12))8 = 0,5527
PV = 5 500/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,5527) = 30 748,98
NPV
NPV = 30 748,98 − 50 000 = −€19 251,02
Risposta
NPV = −€19 251,02
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 3,998 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,08)−6 = €630,17
Cedola
C = (815 − 630,17)/4,623 = €39,98
Tasso cedolare
c = 39,98/1000 = 3,998%
Risposta
c = 3,998%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,456 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€895 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(5%) = €913,41, P(6%) = €873,63
YTM = 5,456%
Risposta
YTM = 5,456%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,99 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·14% + 0,2·5%·(1 − 0,21) = 11,99%
Risposta
WACC = 11,99%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,014 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (520 − 500)/50 = 0,4
Risposta
z = 0,4
11.Probabilità
Risposta: P = 0,3056
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Risposta
P = 0,3056
12.Probabilità
Risposta: σY = 5,831
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 2,8, Var(X) = 1,36, σX = 1,166
Trasformazione lineare
σY = |5|·1,166 = 5,831
Risposta
σY = 5,831
La media invece si sposta: E(Y) = 5·2,8 + 20 = 34.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,02385
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione del totale
μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg
Standardizza
z = (149,5 − 144)/2,771 = 1,98
Probabilità
P = 1 − Φ(1,98) = 0,02385
Risposta
P = 0,02385
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,983
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm
Standardizza
z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12
Probabilità
P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983
Risposta
P = 0,983
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −18,99 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 109,5 − 124,5 = −15
Errore standard
SE = √(5²/100 + 15²/40) = 2,424
Margine di errore
E = 1,645·2,424 = 3,987
Intervallo
−15 ± 3,987 → [−18,99, −11,01]
Risposta
limite inferiore = −18,99 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 435
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·19/1,5)² = 434,2
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 435
Risposta
n = 435
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 4
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Errore standard della differenza media
SE = 7,1/√20 = 1,588
Statistica test
t = 6,35/1,588 = 4
Risposta
t = 4
Con df = 19, il valore critico bilaterale al 5% è 2,093; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 227
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = ((2,326 + 0,842)·19/4)² = 226,4
Arrotonda per eccesso
n = 227
Risposta
n = 227
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9939
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 399/5 = 79,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1285
Coefficiente di determinazione
r² = 226²/(40·1285) = 0,9939
Risposta
r² = 0,9939
Circa il 99,39% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 31,5
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 791/6 = 131,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 949,5
Retta di regressione
b = 949,5/157,5 = 6,029
a = 131,8 − 6,029·25,5 = −21,9
ŷ = −21,9 + 6,029·x
Risolvi per x
x = (168 − (−21,9))/6,029 = 31,5
Risposta
x = 31,5
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