Una rendita paga €1 500 alla fine di ogni anno per 16 anni. Il tasso di interesse è il 6% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €1 500i = 6%n = 16
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €25 0004,2% / 12N = 72
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €500 000 oggi. Genera €32 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 2% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €500 000CF1 = €32 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e rende €23 000, €20 000, €17 500, €23 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 6%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 2% e scade tra 7 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3,5% al 4%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 2%n = 7y1 = 3,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Viene venduta a €879. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 5% (2×)n = 8P = €879
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €5 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo delle azioni privilegiate del 6% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,6. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio è del 3% e il premio per il rischio di mercato è del 6%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,6D/E = 0,25T = 30%rf = 3%rm − rf = 6%
re = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 48, 47, 36, 10, 16.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 58?
μ = 50σ = 20x = 58
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 2 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 2
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 6 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?
n = 6p = 0,4k = 5
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Le masse di bulloni sono indipendenti e normali con media 40 g e deviazione standard 1,2 g. Trova la probabilità P che la massa totale di 9 di essi superi 365,4 g. Arrotonda z a due decimali.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 365,4 g
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).
μ = 65σ = 10P = 25%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 9 elementi ha media 47 e deviazione standard s = 7,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 9x̄ = 47s = 7,595%t(8) = 2,306
limite superiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 73 kg, deviazione standard 2 kg. Gruppo di parcelle 2: 13 parcelle, media 82,5 kg, deviazione standard 4,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 71,13 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,13s = 10n = 64
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 81 misure ha media 116,2. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 116,2σ = 15n = 8199%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3.
n = 5x = 3
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 15159 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3936)/0,06 = 10,11
Valore attuale
PV = 1 500·10,11 = €15 158,84
Risposta
PV = €15 158,84
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 393,4 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·6 = 72
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,7776
A = 25 000·0,0035/(1 − 0,7776) = €393,41
Risposta
A = €393,41
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −42857 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 32 000/(0,09 − 0,02) = 457 142,86
NPV
NPV = 457 142,86 − 500 000 = −€42 857,14
Risposta
NPV = −€42 857,14
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 22,95 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
23 000·1,063 = 27 393,37
20 000·1,062 = 22 472,00
17 500·1,061 = 18 550,00
23 000·1,060 = 23 000,00
TV = 91 415,37
MIRR
MIRR = (91 415,37/40 000)1/4 − 1 = 22,95%
Risposta
MIRR = 22,95%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −28,32 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, N = 16
Risolvi numericamente
i = 3,501% per semestre
YTM
YTM = 2·3,501% = 7,001%
Risposta
YTM = 7,001%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,6·(1 + 0,7·0,25) = 0,705
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3% + 0,705·6% = 7,23%
Risposta
re = 7,23%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,57
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 0,4
Tavola della normale standard
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Risposta
P = 0,6554
11.Probabilità
Risposta: P = 0,3056
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Risposta
P = 0,3056
12.Probabilità
Risposta: P = 0,03686
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 5) = 6·0,45·0,61 = 6·0,01024·0,6 = 0,03686
Risposta
P = 0,03686
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,06681
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione del totale
μT = 360 g, σT = 1,2·√9 = 3,6 g
Standardizza
z = (365,4 − 360)/3,6 = 1,5
Probabilità
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Risposta
P = 0,06681
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 58,26 punti
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Ritorno a x
x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 punti
Risposta
x = 58,26 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 52,77
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Margine di errore
E = 2,306·7,5/√9 = 5,765
Intervallo
47 ± 5,765 → [41,23, 52,77]
Risposta
limite superiore = 52,77
16.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −12,43 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (7·2² + 12·4,5²)/19 = 14,26
sp = 3,777
Margine di errore
E = 1,729·3,777·√(1/8 + 1/13) = 2,934
Intervallo
−9,5 ± 2,934 → [−12,43, −6,566]
Risposta
limite inferiore = −12,43 kg
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −3,096
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Statistica test
t = (71,13 − 75)/1,25 = −3,096
Risposta
t = −3,096
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 120,5
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 2,576·15/√81 = 4,293
Limite dell'intervallo
U = 116,2 + 4,293 = 120,5
Risposta
U = 120,5
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9984
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 3232 − 42·404/6 = 404
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 29542 − 404²/6 = 2339
Coefficiente di correlazione
r = 404/√(70·2339) = 0,9984
Risposta
r = 0,9984
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 13,9
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 125/5 = 25
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148
Retta di regressione
b = 148/40 = 3,7
a = 25 − 3,7·6 = 2,8
ŷ = 2,8 + 3,7·x
Previsione
ŷ = 2,8 + 3,7·3 = 13,9
Risposta
ŷ = 13,9
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