Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 18%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 18%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €250 0004,8% / 12N = 360
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi. Genera €20 000 alla fine di ogni anno per 4 anni e poi può essere venduta a €20 000. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €80 000CF = €20 000S = €20 000n = 4r = 8%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e rende €15 500, €20 500, €19 500 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 12%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 15 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3% al 3,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 7%n = 15y1 = 3%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Viene venduta a €1 176. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 8% (2×)n = 9P = €1 176
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €24,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 2,5%rm = 9,5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 38, 13, 50, 24, 34, 33.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 74,8.
μ = 70σ = 12x = 74,8
z =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 8 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 8
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 12 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 12p = 0,2
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Le masse di sacchi di cemento sono indipendenti e normali con media 25 kg e deviazione standard 0,5 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 6 di essi sia inferiore a 151,8 kg. Arrotonda z a due decimali.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6< 151.8 kg
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 60% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.
μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 64 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 9,1. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 90% calcolato dagli stessi dati?
99%n₁ = 64E₁ = 9,190%
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Uno studio pilota indica che circa 0,4 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,01?
p ≈ 0,4E = 0,0195%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 197,7 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 197,7s = 10n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 2 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 12. Trova la dimensione minima del campione n.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3,5, 19). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 19)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 19,72 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,18/365 = 0,0004932
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0004932)365 − 1 = 1,197 − 1 = 19,72%
Risposta
EAR = 19,72%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 1312 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·30 = 360
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,2376
A = 250 000·0,004/(1 − 0,2376) = €1 311,66
Risposta
A = €1 311,66
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 943,1 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
20 000·3,312 = 66 242,54
Valore attuale del valore residuo
20 000/1,36 = 14 700,60
NPV
NPV = −80 000 + 66 242,54 + 14 700,60 = €943,13
Risposta
NPV = €943,13
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 15,67 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
15 500·1,122 = 19 443,20
20 500·1,121 = 22 960,00
19 500·1,120 = 19 500,00
TV = 61 903,20
MIRR
MIRR = (61 903,20/40 000)1/3 − 1 = 15,67%
Risposta
MIRR = 15,67%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −74,41 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, N = 18
Risolvi numericamente
i = 2,747% per semestre
YTM
YTM = 2·2,747% = 5,495%
Risposta
YTM = 5,495%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,798 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·3,5%·(1 − 0,258) = 5,798%
Risposta
WACC = 5,798%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,571 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (74,8 − 70)/12 = 0,4
Risposta
z = 0,4
11.Probabilità
Risposta: P = 0,7674
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Risposta
P = 0,7674
12.Probabilità
Risposta: P = 0,2749
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,812 = 0,06872
P(X = 1) = 12·0,2·0,811 = 0,2062
Sommale
P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749
Risposta
P = 0,2749
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9292
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione del totale
μT = 150 kg, σT = 0,5·√6 = 1,225 kg
Standardizza
z = (151,8 − 150)/1,225 = 1,47
Probabilità
P = Φ(1,47) = 0,9292
Risposta
P = 0,9292
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 248,8 g
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,4
z dalla tabella
z ≈ −0,25
Di nuovo nelle unità originali
x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g
Risposta
x = 248,8 g
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 5,811
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/64) = 0,6386
Nuovo margine
E₂ = 9,1·0,6386 = 5,811
Risposta
E₂ = 5,811
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 9220
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 1,96²·0,4·0,6/0,01² = 9220
Arrotonda per eccesso
n = 9220
Risposta
n = 9220
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,38
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Statistica test
t = (197,7 − 200)/1,667 = −1,38
Risposta
t = −1,38
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 469
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = ((2,326 + 1,282)·12/2)² = 468,6
Arrotonda per eccesso
n = 469
Risposta
n = 469
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9952
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 155/6 = 25,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 253
Syy = Σ(y − ȳ)² = 918,8
Coefficiente di determinazione
r² = 253²/(70·918,8) = 0,9952
Risposta
r² = 0,9952
Circa il 99,52% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 4,8
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 77/5 = 15,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Retta di regressione
b = −24/10 = −2,4
a = 15,4 − (−2,4)·3 = 22,6
ŷ = 22,6 − 2,4·x
Valore previsto
ŷ = 22,6 + (−2,4)·3,5 = 14,2
Residuo
e = 19 − 14,2 = 4,8
Risposta
e = 4,8
Il punto si trova sopra la retta.
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