Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 25%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 25%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €10 000 al 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €150 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €10 000A = €1505,4% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €6 000, €6 000, €5 000, €6 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €25 000 rende €8 500 alla fine di ogni anno per 4 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €25 000CF = €8 500n = 4
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 6%n = 8
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 7 anni e quota €865. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 7P = €865
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €25,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 2%rm = 7%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 45, 28, 35, 16, 58, 28.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 90,4?
μ = 100σ = 12x = 90,4
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,2, 0,25, 0,05, 0,15
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 10X + 10. Trova la deviazione standard σY di Y.
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9051. Trova z con due decimali.
A = 0,9051
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,05 mm e deviazione standard 0,015 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,02 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 90% per una media, basato su 64 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 4,2. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 95% basato su 128 osservazioni?
90%n₁ = 64E₁ = 4,295%n₂ = 128
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 33. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?
σ = 33E = 199%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 197,8 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 197,8s = 10n = 100
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2? La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 8E = 290%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (18,5, 67). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(18,5, 67)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 28,39 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,25/365 = 0,0006849
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0006849)365 − 1 = 1,284 − 1 = 28,39%
Risposta
EAR = 28,39%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 80 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,0045/150 = 0,7
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,7)/ln(1,004) = 79,44
Arrotonda a rate intere
79 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 80
Risposta
N = 80 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −3528 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 6 000/1,15 = 5 217,39
CF2/(1 + 0,15)2 = 6 000/1,322 = 4 536,86
CF3/(1 + 0,15)3 = 5 000/1,521 = 3 287,58
CF4/(1 + 0,15)4 = 6 000/1,749 = 3 430,52
Sommali
NPV = €−3 527,65
Risposta
NPV = €−3 527,65
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 13,54 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−4)/i = 25 000/8 500 = 2,941
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 13%: 2,974
i = 14%: 2,914
IRR = 13,54%
Risposta
IRR = 13,54%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1063 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,03, N = 16
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,6232)/0,03 = €439,64
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6232 = €623,17
Prezzo
P = €1 062,81
Risposta
P = €1 062,81
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 6,458 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€865 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(6%) = €888,35, P(7%) = €838,32
YTM = 6,458%
Risposta
YTM = 6,458%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,11 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·4,5%·(1 − 0,21) = 11,11%
Risposta
WACC = 11,11%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,83 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,8
Tavola della normale standard
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Risposta
P = 0,7881
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 1,947
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 2,1, Var(X) = 0,89, σX = 0,9434
Trasformazione lineare
σY = |10|·0,9434 = 9,434
Risposta
σY = 9,434
La media invece si sposta: E(Y) = 10·2,1 + 10 = 31.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 1,67
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,9051)/2 = 0,9525
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9525 dentro la tabella e leggi z.
z = 1,67
Risposta
z = 1,67
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9772
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm
Standardizza
z = (0 − 0,05)/0,025 = −2
Probabilità
P = 1 − Φ(−2) = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 3,539
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/128) = 0,8425
Nuovo margine
E₂ = 4,2·0,8425 = 3,539
Risposta
E₂ = 3,539
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 7227
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·33/1)² = 7226
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 7227
Risposta
n = 7227
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,2
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Statistica test
t = (197,8 − 200)/1 = −2,2
Risposta
t = −2,2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 44
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (1,645·8/2)² = 43,3
Arrotonda per eccesso
n = 44
Risposta
n = 44
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9917
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 310/5 = 62
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 188
Coefficiente di correlazione
r = 43/√(10·188) = 0,9917
Risposta
r = 0,9917
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 2,657
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 480/6 = 80
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 822
Retta di regressione
b = 822/157,5 = 5,219
a = 80 − 5,219·21,5 = −32,21
ŷ = −32,21 + 5,219·x
Valore previsto
ŷ = −32,21 + 5,219·18,5 = 64,34
Residuo
e = 67 − 64,34 = 2,657
Risposta
e = 2,657
Il punto si trova sopra la retta.
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