Investi €1 000 a un tasso nominale del 6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 6 anni.
PV = €1 0006% / 4n = 6
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €300 alla fine di ogni mese per 5 anni. Il conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €3003,6% / 12N = 60
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €11 000, €15 000, €12 000, €12 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €12 500, €17 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 17 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 7%n = 11
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 19 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 174. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%P = €1 174prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 6 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €2 000 000. Il suo WACC è del 7,69%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €32,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 3,5%rm = 10%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 13, 43, 60, 23, 29.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 94?
μ = 100σ = 5x = 94
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 6 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
3 / 6
P =
12.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 3 €. Si vincono 15 € con probabilità 0,25 e 60 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €3€15: p = 0,25€60: p = 0,02
E(G) = €
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 30,5 e 33,2 min? Dai P come numero decimale.
μ = 32σ = 6x1 = 30,5x2 = 33,2
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 97,5 % dei dati (il 97,5° percentile).
μ = 250σ = 5P = 97,5%
x = g
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 20 elementi ha media 101,5 e deviazione standard s = 15,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 20x̄ = 101,5s = 15,590%t(19) = 1,729
limite superiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 25. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 5?
σ = 25E = 599%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 22 studenti, punteggio medio 23,5, deviazione standard 7. Gruppo 2: 9 studenti, punteggio medio 28,8, deviazione standard 2. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 22x̄₁ = 23,5s₁ = 7n₂ = 9x̄₂ = 28,8s₂ = 2
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 16 misure ha media 112,5. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.
x̄ = 112,5σ = 20n = 1695%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 84?
n = 5ŷ = 84
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 1430 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = r/m = 0,06/4 = 0,015
N = m·n = 4·6 = 24
Valore futuro
FV = 1 000·(1 + 0,015)24 = 1 000·1,43 = €1 429,50
Risposta
FV = €1 429,50
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 19689 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 11 000/1,06 = 10 377,36
CF2/(1 + 0,06)2 = 15 000/1,124 = 13 349,95
CF3/(1 + 0,06)3 = 12 000/1,191 = 10 075,43
CF4/(1 + 0,06)4 = 12 000/1,262 = 9 505,12
Sommali
NPV = €13 307,86
Risposta
NPV = €13 307,86
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 12,32 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 826,45
NPV(15%) = −897,92
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 10 + 5·826,45/(826,45 − (−897,92)) = 12,4%
esatto: NPV(12,32%) = 0 → IRR = 12,32%
Risposta
IRR = 12,32%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 620,8 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,035, N = 22
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,4692)/0,035 = €151,67
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,4692 = €469,15
Prezzo
P = €620,82
Risposta
P = €620,82
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 4,649 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1174 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 4%: €1 212,59
y = 5%: €1 153,75
YTC = 4,649%
Risposta
YTC = 4,649%
Il rendimento a scadenza è del 5,501%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 9,003 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
Parte del debito nel WACC
0,25·5%·(1 − 0,25) = 0,9375%
Costo del capitale proprio
re = (7,69% − 0,9375%)/0,75 = 9,003%
Risposta
re = 9,003%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 12,62 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,2
Tavola della normale standard
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Risposta
P = 0,1151
11.Probabilità
Risposta: P = 0,08333
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0,08333
Risposta
P = 0,08333
12.Probabilità
Risposta: E(G) = 1,95 €
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 12 (p = 0,25), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,73)
Valore atteso
E(G) = 12·0,25 + 57·0,02 − 3·0,73 = 1,95 €
Risposta
E(G) = 1,95 €
Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,178
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25
z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2
Area compresa
P = Φ(0,2) − Φ(−0,25) = 0,5793 − 0,4013 = 0,178
Risposta
P = 0,178
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 259,8 g
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Ritorno a x
x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g
Risposta
x = 259,8 g
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 107,5
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Margine di errore
E = 1,729·15,5/√20 = 5,993
Intervallo
101,5 ± 5,993 → [95,51, 107,5]
Risposta
limite superiore = 107,5
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 166
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·25/5)² = 165,9
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 166
Risposta
n = 166
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,214
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (21·7² + 8·2²)/29 = 36,59
sp = 6,049
Errore standard
SE = 6,049·√(1/22 + 1/9) = 2,393
Statistica test
t = (23,5 − 28,8)/2,393 = −2,214
Risposta
t = −2,214
Con df = 29, il valore critico bilaterale al 5% è 2,045; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 122,3
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,96·20/√16 = 9,8
Limite dell'intervallo
U = 112,5 + 9,8 = 122,3
Risposta
U = 122,3
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9845
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 168/6 = 28
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 282
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1154
Coefficiente di determinazione
r² = 282²/(70·1154) = 0,9845
Risposta
r² = 0,9845
Circa il 98,45% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 9,061
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 332/5 = 66,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230
Retta di regressione
b = 230/40 = 5,75
a = 66,4 − 5,75·6 = 31,9
ŷ = 31,9 + 5,75·x
Risolvi per x
x = (84 − 31,9)/5,75 = 9,061
Risposta
x = 9,061
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