Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €8 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 4% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 10% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €8 000g = 4%r = 10%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €100 alla fine di ogni mese per 6 anni. Il conto rende il 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1002,4% / 12N = 72
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €21 000, €17 000, €22 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e rende €24 500, €16 500, €16 000 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 12%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 4% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 4%n = 6
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 8% e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 6%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 8%n = 3YTM = 6%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €53,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 2%rm = 6,5%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 49, 17, 55, 44, 42, 59.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 55,6?
μ = 70σ = 12x = 55,6
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,05, 0,35
σ =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 3X + 4. Trova la deviazione standard σY di Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2Y = 3X + 4
σY =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9090. Trova z con due decimali.
A = 0,9090
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le altezze degli uomini adulti sono distribuiti normalmente con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trascina la soglia in modo che il 15% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 178 cmσ = 7 cm15%
x = cm
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 10 elementi ha media 12,5 e deviazione standard s = 13,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 10x̄ = 12,5s = 13,599%t(9) = 3,25
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 14. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 14E = 390%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 100 pezzi ha lunghezza media 103,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 16 mm. Linea 2: un campione di 80 pezzi ha media 109,2 mm, deviazione standard nota 18 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 36 misure ha media 198,5. La deviazione standard della popolazione è 8. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 198,5σ = 8n = 3699%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (4,5, 18). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 18)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 133333 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 21 000/1,05 = 20 000,00
CF2/(1 + 0,05)2 = 17 000/1,103 = 15 419,50
CF3/(1 + 0,05)3 = 22 000/1,158 = 19 004,43
Sommali
NPV = €9 423,93
Risposta
NPV = €9 423,93
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 9,258 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
24 500·1,122 = 30 732,80
16 500·1,121 = 18 480,00
16 000·1,120 = 16 000,00
TV = 65 212,80
MIRR
MIRR = (65 212,80/50 000)1/3 − 1 = 9,258%
Risposta
MIRR = 9,258%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1212 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,02, N = 12
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,7885)/0,02 = €423,01
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7885 = €788,49
Prezzo
P = €1 211,51
Risposta
P = €1 211,51
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 2,789 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 80/1,06 = 75,47, t·PV = 75,47
t = 2: 80/1,124 = 71,20, t·PV = 142,40
t = 3: 1080/1,191 = 906,79, t·PV = 2 720,37
Duration
P = 1 053,46
D = 2 938,24/1 053,46 = 2,789
Risposta
D = 2,789 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,802 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,2
Tavola della normale standard
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Risposta
P = 0,8849
11.Probabilità
Risposta: σ = 1,281
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,35 = 1,4
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,35 = 3,6
Varianza
Var(X) = 3,6 − 1,4² = 1,64
σ = √1,64 = 1,281
Risposta
σ = 1,281
12.Probabilità
Risposta: σY = 3,457
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 2,35, Var(X) = 1,328, σX = 1,152
Trasformazione lineare
σY = |3|·1,152 = 3,457
Risposta
σY = 3,457
La media invece si sposta: E(Y) = 3·2,35 + 4 = 11,05.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 1,69
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,9090)/2 = 0,9545
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9545 dentro la tabella e leggi z.
z = 1,69
Risposta
z = 1,69
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 170,7 cm
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,15
z dalla tabella
z ≈ −1,04
Di nuovo nelle unità originali
x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm
Risposta
x = 170,7 cm
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −1,374
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Margine di errore
E = 3,25·13,5/√10 = 13,87
Intervallo
12,5 ± 13,87 → [−1,374, 26,37]
Risposta
limite inferiore = −1,374
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 59
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·14/3)² = 58,93
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 59
Risposta
n = 59
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −2,217
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(16²/100 + 18²/80) = √6,61 = 2,571
Statistica test
z = (103,5 − 109,2)/2,571 = −2,217
Risposta
z = −2,217
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 201,9
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 2,576·8/√36 = 3,435
Limite dell'intervallo
U = 198,5 + 3,435 = 201,9
Risposta
U = 201,9
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9327
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 204/5 = 40,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45
Syy = Σ(y − ȳ)² = 232,8
Coefficiente di correlazione
r = 45/√(10·232,8) = 0,9327
Risposta
r = 0,9327
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 3,895
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 98/6 = 16,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39
Retta di regressione
b = −39/17,5 = −2,229
a = 16,33 − (−2,229)·3,5 = 24,13
ŷ = 24,13 − 2,229·x
Valore previsto
ŷ = 24,13 + (−2,229)·4,5 = 14,1
Residuo
e = 18 − 14,1 = 3,895
Risposta
e = 3,895
Il punto si trova sopra la retta.
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