Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €10 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €10 000g = 1%r = 5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €10 000 tra 11 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €10 0006% / 12N = 132
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €30 000 oggi, dura 9 anni e costa €2 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 5%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €30 000M = €2 000n = 9r = 5%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €150 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €16 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 9. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €150 000CF1 = €16 500g = 4%n = 9r = 10%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 3 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €975 quando il rendimento a scadenza è del 9%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 3P = €975YTM = 9%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Viene venduta a €948. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 7% (2×)n = 3P = €948
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €32,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €19 200 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,60 per azione, e i dividendi crescono del 4% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €25 600 000 e un costo al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,6102. Trova z con due decimali.
A = 0,6102
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).
μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 66,5 h, deviazione standard nota 17 h. Modello 2: 40 telefoni, media 56 h, deviazione standard nota 10 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 29. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 29E = 290%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 494,2 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 494,2s = 20n = 81
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 8E = 2,590%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 20?
n = 5ŷ = 20
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 250000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,05−9)/0,05 = 7,108
Prezzo d’acquisto annualizzato
30 000/7,108 = 4 220,70
EAC
EAC = 4 220,70 + 2 000 = €6 220,70
Risposta
EAC = €6 220,70
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −40996 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 8,012 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,09)−3 = €772,18
Cedola
C = (975 − 772,18)/2,531 = €80,12
Tasso cedolare
c = 80,12/1000 = 8,012%
Risposta
c = 8,012%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 9,017 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, N = 6
Risolvi numericamente
i = 4,508% per semestre
YTM
YTM = 2·4,508% = 9,017%
Risposta
YTM = 9,017%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,833 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·10% + 0,6667·5%·(1 − 0,25) = 5,833%
Risposta
WACC = 5,833%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,071 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −2
Tavola della normale standard
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
11.Probabilità
Risposta: N = 165
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165
Risposta
N = 165
12.Probabilità
Risposta: σY = 12,41
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 2,6, Var(X) = 1,54, σX = 1,241
Trasformazione lineare
σY = |10|·1,241 = 12,41
Risposta
σY = 12,41
La media invece si sposta: E(Y) = 10·2,6 + 20 = 46.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 0,86
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,6102)/2 = 0,8051
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,8051 dentro la tabella e leggi z.
z = 0,86
Risposta
z = 0,86
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 246,6 g
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Ritorno a x
x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g
Risposta
x = 246,63 g
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 4,846 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 66,5 − 56 = 10,5
Errore standard
SE = √(17²/80 + 10²/40) = 2,472
Margine di errore
E = 1,96·2,472 = 4,846
Risposta
E = 4,846 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 569
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·29/2)² = 568,9
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 569
Risposta
n = 569
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,61
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
Statistica test
t = (494,2 − 500)/2,222 = −2,61
Risposta
t = −2,61
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 28
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (1,645·8/2,5)² = 27,71
Arrotonda per eccesso
n = 28
Risposta
n = 28
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9795
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 13390 − 138·572/6 = 234
Sxx = 3244 − 138²/6 = 70
Syy = 55346 − 572²/6 = 815,3
Coefficiente di correlazione
r = 234/√(70·815,3) = 0,9795
Risposta
r = 0,9795
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 5,1
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 118/5 = 23,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Retta di regressione
b = 160/40 = 4
a = 23,6 − 4·6 = −0,4
ŷ = −0,4 + 4·x
Risolvi per x
x = (20 − (−0,4))/4 = 5,1
Risposta
x = 5,1
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