Investi €8 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 5 anni.
PV = €8 0002% / 4n = 5
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €25 000 al 3% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €350 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €25 000A = €3503% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €4 000, €6 000, €8 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €7 000, €6 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 6 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 6 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5% al 6%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 3%n = 6y1 = 5%y2 = 6%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 5 anni e quota €960. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 5P = €960
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €4 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo delle azioni privilegiate del 7,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni quotate €25,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €50 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,60 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €50 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 59, 32, 11, 60, 49, 37, 26.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 10. Trova il punteggio z z di un voto pari a 88.
μ = 100σ = 10x = 88
z =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 15? L'ordine non conta.
n = 15k = 2
N =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,6, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?
n = 12p = 0,6k = 2
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,0244. Trova z con due decimali.
A = 0,0244
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
La massa X di un prodotto della linea 1 e Y della linea 2 sono indipendenti e normali: X ha media 500 g e deviazione standard 8 g, Y ha media 490 g e deviazione standard 6 g. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 10 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −3,3 e deviazione standard 5,7. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per la differenza media.
n = 10d̄ = −3,3sd = 5,795%t(9) = 2,262
limite inferiore = mmHg
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Uno studio pilota indica che circa 0,1 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 99% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,04?
p ≈ 0,1E = 0,0499%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 121,4 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 121,4s = 12n = 100
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 100 misure ha media 49,8. La deviazione standard della popolazione è 5. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.
x̄ = 49,8σ = 5n = 10095%
L =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 7.
n = 5x = 7
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 8839 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,0025/350 = 0,8214
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8214)/ln(1,002) = 78,78
Arrotonda a rate intere
78 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 79
Risposta
N = 79 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −5103 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 4 000/1,09 = 3 669,72
CF2/(1 + 0,09)2 = 6 000/1,188 = 5 050,08
CF3/(1 + 0,09)3 = 8 000/1,295 = 6 177,47
Sommali
NPV = €−5 102,73
Risposta
NPV = €−5 102,73
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 22,89 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 347,22
NPV(25%) = −240,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 20 + 5·347,22/(347,22 − (−240,00)) = 22,96%
esatto: NPV(22,89%) = 0 → IRR = 22,89%
Risposta
IRR = 22,89%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −46,01 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€960 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(5%) = €1 000,00, P(6%) = €957,88
YTM = 5,948%
Risposta
YTM = 5,948%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,546 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (88 − 100)/10 = −1,2
Risposta
z = −1,2
11.Probabilità
Risposta: N = 105
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105
Risposta
N = 105
12.Probabilità
Risposta: P = 0,002491
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,0244 = 0,9756
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9756 dentro la tabella e leggi z.
z = 1,97
Risposta
z = 1,97
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,8413
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standardizza
z = (0 − 10)/10 = −1
Probabilità
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −7,377 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 9, t = 2,262
Margine di errore
E = 2,262·5,7/√10 = 4,077
Intervallo
−3,3 ± 4,077 → [−7,377, 0,7773]
Risposta
limite inferiore = −7,377 mmHg
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 374
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 2,576²·0,1·0,9/0,04² = 373,3
Arrotonda per eccesso
n = 374
Risposta
n = 374
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,167
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Statistica test
t = (121,4 − 120)/1,2 = 1,167
Risposta
t = 1,167
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 48,82
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,96·5/√100 = 0,98
Limite dell'intervallo
L = 49,8 − 0,98 = 48,82
Risposta
L = 48,82
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9839
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 374/6 = 62,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111
Syy = Σ(y − ȳ)² = 727,3
Coefficiente di correlazione
r = 111/√(17,5·727,3) = 0,9839
Risposta
r = 0,9839
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 88,6
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 416/5 = 83,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216
Retta di regressione
b = 216/40 = 5,4
a = 83,2 − 5,4·6 = 50,8
ŷ = 50,8 + 5,4·x
Previsione
ŷ = 50,8 + 5,4·7 = 88,6
Risposta
ŷ = 88,6
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