Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €8 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €8 000g = 2%r = 5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €3 000 all’inizio di ogni anno per 25 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 5% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 25? Trova FV.
A = €3 000i = 5%n = 25
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €17 000, €16 000, €25 000, €18 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €27 000, €27 000, €20 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 27 000CF2 = 27 000CF3 = 20 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 6% e scade tra 4 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 2,5% al 3%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 6%n = 4y1 = 2,5%y2 = 3%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 090 con un rendimento a scadenza del 5% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 10,8 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 100 punti base.
P0 = €1 090y = 5%D = 10,8Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,5. Il suo costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
D/E = 0,5re = 14%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €34,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 3%rm = 7%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 32, 44, 44, 18, 19, 55, 50.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 52.
μ = 60σ = 8x = 52
z =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 11? L'ordine non conta.
n = 11k = 5
N =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 11p = 0,5
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,4647. Trova z con due decimali.
A = 0,4647
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 90 % dei dati (il 90° percentile).
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 50 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 1,4. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 90% basato su 100 osservazioni?
95%n₁ = 50E₁ = 1,490%n₂ = 100
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 34. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?
σ = 34E = 490%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 498,2 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,2s = 5n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 125 pazienti su 250 con il trattamento A guariscono, e 32 su 80 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 125n₁ = 250x₂ = 32n₂ = 80
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 266667 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,05)25 − 1)/0,05 = 47,73
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 3 000·47,73·1,05 = €150 340,36
Risposta
FV = €150 340,36
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 7108 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 17 000/1,05 = 16 190,48
CF2/(1 + 0,05)2 = 16 000/1,103 = 14 512,47
CF3/(1 + 0,05)3 = 25 000/1,158 = 21 595,94
CF4/(1 + 0,05)4 = 18 000/1,216 = 14 808,64
Sommali
NPV = €7 107,53
Risposta
NPV = €7 107,53
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 40,72 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(40%) = 349,85
NPV(45%) = −1 977,12
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 10,8/1,05 = 10,29
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −10,29·(0,01) = −10,29%
P ≈ 1090·(1 − 0,1029) = €977,89
Risposta
P = €977,89
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,32 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (52 − 60)/8 = −1
Risposta
z = −1
11.Probabilità
Risposta: N = 462
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462
Risposta
N = 462
12.Probabilità
Risposta: P = 0,005859
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,511 = 0,0004883
P(X = 1) = 11·0,5·0,510 = 0,005371
Sommale
P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859
Risposta
P = 0,005859
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 0,62
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,4647)/2 = 0,7324
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,7324 dentro la tabella e leggi z.
z = 0,62
Risposta
z = 0,62
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 187 cm
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Ritorno a x
x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm
Risposta
x = 186,97 cm
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 0,8309
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/100) = 0,5935
Nuovo margine
E₂ = 1,4·0,5935 = 0,8309
Risposta
E₂ = 0,8309
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 196
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·34/4)² = 195,5
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 196
Risposta
n = 196
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,16
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Statistica test
t = (498,2 − 500)/0,8333 = −2,16
Risposta
t = −2,16
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 1,559
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 125/250 = 0,5
p̂₂ = 32/80 = 0,4
p̂ = 157/330 = 0,4758
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,4758·0,5242·(1/250 + 1/80)) = 0,06415
Statistica test
z = (0,5 − 0,4)/0,06415 = 1,559
Risposta
z = 1,559
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9428
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 89,2
Coefficiente di determinazione
r² = −29²/(10·89,2) = 0,9428
Risposta
r² = 0,9428
Circa il 94,28% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 41,58
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 263/6 = 43,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39,5
Retta di regressione
b = 39,5/17,5 = 2,257
a = 43,83 − 2,257·5,5 = 31,42
ŷ = 31,42 + 2,257·x
Previsione
ŷ = 31,42 + 2,257·4,5 = 41,58
Risposta
ŷ = 41,58
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