Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €2 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 3,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €2 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €300 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 6? Trova il debito residuo B.
P = €300 0003,6% / 12N = 240k = 72
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €15 000, €22 000, €13 000, €12 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €20 000 rende €7 000 alla fine di ogni anno per 4 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €20 000CF = €7 000n = 4
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 7%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 12y0 = 7%y1 = 6%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 6 anni e quota €930. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 6P = €930
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
E = €6 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,2. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,6. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio è del 3% e il premio per il rischio di mercato è del 4,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,2D/E = 0,6T = 25,8%rf = 3%rm − rf = 4,5%
re = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 55, 22, 42, 19, 15, 43.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 162,5.
μ = 170σ = 5x = 162,5
z =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 3 persone da un gruppo di 14? L'ordine non conta.
n = 14k = 3
N =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 7 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?
n = 7p = 0,3k = 3
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 240,25 e 259,25 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 240,25x2 = 259,25
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 30 elementi ha media 52 e deviazione standard s = 16. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 30x̄ = 52s = 1695%t(29) = 2,045
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 26. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 26E = 390%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
11 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −2,24 e la deviazione standard delle differenze è 5,3. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = −2,24sd = 5,3
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 2,5 unità con una potenza del 80%. La deviazione standard è 11. Trova la dimensione minima del campione n.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 9.
n = 6x = 9
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 100000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 240 − 72 = 168
B = 1755·(1 − (1 + 0,003)−168)/0,003 = €231 373,35
Risposta
B = €231 373,35
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 5818 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 15 000/1,09 = 13 761,47
CF2/(1 + 0,09)2 = 22 000/1,188 = 18 516,96
CF3/(1 + 0,09)3 = 13 000/1,295 = 10 038,39
CF4/(1 + 0,09)4 = 12 000/1,412 = 8 501,10
Sommali
NPV = €5 817,92
Risposta
NPV = €5 817,92
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 14,96 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−4)/i = 20 000/7 000 = 2,857
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 14%: 2,914
i = 15%: 2,855
IRR = 14,96%
Risposta
IRR = 14,96%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 15,45 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€930 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Risolvi numericamente
P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54
YTM = 7,491%
Risposta
YTM = 7,491%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,3 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·5%·(1 − 0,28) = 6,3%
Risposta
WACC = 6,3%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 10,8 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,2·(1 + 0,742·0,6) = 1,734
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3% + 1,734·4,5% = 10,8%
Risposta
re = 10,8%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 16,16
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (162,5 − 170)/5 = −1,5
Risposta
z = −1,5
11.Probabilità
Risposta: N = 364
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364
Risposta
N = 364
12.Probabilità
Risposta: P = 0,2269
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standardizza
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Probabilità
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Risposta
P = 0,7881
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 46,03
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 29, t = 2,045
Margine di errore
E = 2,045·16/√30 = 5,974
Intervallo
52 ± 5,974 → [46,03, 57,97]
Risposta
limite inferiore = 46,03
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 204
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·26/3)² = 203,3
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 204
Risposta
n = 204
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,402
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Errore standard della differenza media
SE = 5,3/√11 = 1,598
Statistica test
t = −2,24/1,598 = −1,402
Risposta
t = −1,402
Con df = 10, il valore critico bilaterale al 5% è 2,228; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 195
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = ((2,326 + 0,842)·11/2,5)² = 194,3
Arrotonda per eccesso
n = 195
Risposta
n = 195
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,99
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 182/6 = 30,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 280
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1131
Coefficiente di determinazione
r² = 280²/(70·1131) = 0,99
Risposta
r² = 0,99
Circa il 99% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 31,38
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 149/6 = 24,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 229
Retta di regressione
b = 229/70 = 3,271
a = 24,83 − 3,271·7 = 1,933
ŷ = 1,933 + 3,271·x
Previsione
ŷ = 1,933 + 3,271·9 = 31,38
Risposta
ŷ = 31,38
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