Ti servono €25 000 tra 3 anni. Un conto rende il 5 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €25 0005% / 12n = 3
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €20 000 al 3% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €375 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €20 000A = €3753% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €14 000, €16 000, €12 000, €16 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €7 500, €4 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 4 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 3%n = 12
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 10 anni e quota €845. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 10P = €845
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 8,74%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €10 000 000 e un costo del capitale proprio del 10%. Il suo debito è costituito da 2 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 11 anni alla scadenza) quotate €1 143 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 19, 39, 54, 28, 19, 43.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è superiore a 118,8?
μ = 100σ = 15x = 118,8
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 6 palline rosse e 3 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
6 / 3
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 7 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 7p = 0,1
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 26,3 e 44,3 min? Dai P come numero decimale.
μ = 32σ = 6x1 = 26,3x2 = 44,3
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
15.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 20 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −9 e deviazione standard 3,8. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per la differenza media.
n = 20d̄ = −9sd = 3,895%t(19) = 2,093
limite superiore = mmHg
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 24. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 5?
σ = 24E = 595%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 40 pezzi ha lunghezza media 120,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 7 mm. Linea 2: un campione di 60 pezzi ha media 114,8 mm, deviazione standard nota 12 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 64 misure ha media 200,1. La deviazione standard della popolazione è 5. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 200,1σ = 5n = 6499%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3, 33). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(3, 33)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 21524 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·3 = 36
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,161 = €21 524,41
Risposta
PV = €21 524,41
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 58 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,0025/375 = 0,8667
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8667)/ln(1,002) = 57,31
Arrotonda a rate intere
57 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 58
Risposta
N = 58 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 6375 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 14 000/1,05 = 13 333,33
CF2/(1 + 0,05)2 = 16 000/1,103 = 14 512,47
CF3/(1 + 0,05)3 = 12 000/1,158 = 10 366,05
CF4/(1 + 0,05)4 = 16 000/1,216 = 13 163,24
Sommali
NPV = €6 375,10
Risposta
NPV = €6 375,10
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 14,35 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 537,19
NPV(15%) = −75,61
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 10 + 5·537,19/(537,19 − (−75,61)) = 14,38%
esatto: NPV(14,35%) = 0 → IRR = 14,35%
Risposta
IRR = 14,35%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1150 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,015, N = 24
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,6995)/0,015 = €450,68
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6995 = €699,54
Prezzo
P = €1 150,23
Risposta
P = €1 150,23
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 9,465 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€845 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Risolvi numericamente
P(9%) = €871,65, P(10%) = €815,66
YTM = 9,465%
Risposta
YTM = 9,465%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 13,99 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
Parte del debito nel WACC
0,5714·6%·(1 − 0,2) = 2,743%
Costo del capitale proprio
re = (8,74% − 2,743%)/0,4286 = 13,99%
Risposta
re = 13,99%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,506 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,25
Tavola della normale standard
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Risposta
P = 0,1056
11.Probabilità
Risposta: P = 0,4167
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167
Risposta
P = 0,4167
12.Probabilità
Risposta: P = 0,8503
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,97 = 0,4783
P(X = 1) = 7·0,1·0,96 = 0,372
Sommale
P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503
Risposta
P = 0,8503
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,8088
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (26,3 − 32)/6 = −0,95
z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05
Area compresa
P = Φ(2,05) − Φ(−0,95) = 0,9798 − 0,1711 = 0,8088
Risposta
P = 0,8088
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 173,3 cm
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Ritorno a x
x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm
Risposta
x = 173,28 cm
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = −7,222 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 19, t = 2,093
Margine di errore
E = 2,093·3,8/√20 = 1,778
Intervallo
−9 ± 1,778 → [−10,78, −7,222]
Risposta
limite superiore = −7,222 mmHg
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 89
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·24/5)² = 88,51
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 89
Risposta
n = 89
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 2,994
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(7²/40 + 12²/60) = √3,625 = 1,904
Statistica test
z = (120,5 − 114,8)/1,904 = 2,994
Risposta
z = 2,994
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 201,7
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 2,576·5/√64 = 1,61
Limite dell'intervallo
U = 200,1 + 1,61 = 201,7
Risposta
U = 201,7
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9933
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 557/6 = 92,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 808,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4207
Coefficiente di correlazione
r = 808,5/√(157,5·4207) = 0,9933
Risposta
r = 0,9933
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = −1,95
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 204/5 = 40,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78
Retta di regressione
b = 78/40 = 1,95
a = 40,8 − 1,95·6 = 29,1
ŷ = 29,1 + 1,95·x
Valore previsto
ŷ = 29,1 + 1,95·3 = 34,95
Residuo
e = 33 − 34,95 = −1,95
Risposta
e = −1,95
Il punto si trova sotto la retta.
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