Investi €2 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €2 0002% / 12n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 11? Trova il debito residuo B.
P = €200 0003,6% / 12N = 240k = 132
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €200 000 oggi. Genera €8 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €8 000g = 4%r = 9%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e restituisce €3 500, €6 000, €4 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 3 500CF2 = 6 000CF3 = 4 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 5%YTM = 6%n = 9
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 3 anni e quota €970. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 3P = €970
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €16,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €49 500 000. Ha appena pagato un dividendo di €0,50 per azione, e i dividendi crescono del 3% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €24 800 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 43, 48, 46, 14, 26, 32.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 160?
μ = 170σ = 20x = 160
P =
11.ProbabilitàMedia
Si lancia un dado equo 5 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?
n = 5
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 9 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 9p = 0,4
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,6923. Trova z con due decimali.
A = 0,6923
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 10 % dei dati (il 10° percentile).
μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 50 telefoni, media 121 h, deviazione standard nota 19 h. Modello 2: 30 telefoni, media 129 h, deviazione standard nota 9 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 13. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?
σ = 13E = 1,599%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 206 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 206s = 15n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 100 misure ha media 123,6. La deviazione standard della popolazione è 12. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 123,6σ = 12n = 10090%
L =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 6Σx = 21Σy = 111Σx² = 91Σy² = 2123Σxy = 356
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2300 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 240 − 132 = 108
B = 1170·(1 − (1 + 0,003)−108)/0,003 = €107 816,10
Risposta
B = €107 816,10
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −40000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 8 000/(0,09 − 0,04) = 160 000,00
NPV
NPV = 160 000,00 − 200 000 = −€40 000,00
Risposta
NPV = −€40 000,00
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 18,08 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 539,16
NPV(20%) = −312,50
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 15 + 5·539,16/(539,16 − (−312,50)) = 18,17%
esatto: NPV(18,08%) = 0 → IRR = 18,08%
Risposta
IRR = 18,08%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 931,2 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, i = 0,03, N = 18
Valore attuale delle cedole
€25,00·(1 − 0,5874)/0,03 = €343,84
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,5874 = €587,39
Prezzo
P = €931,23
Risposta
P = €931,23
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,083 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€970 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(4%) = €972,25, P(5%) = €945,54
YTM = 4,083%
Risposta
YTM = 4,083%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,459 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·12% + 0,6·3,5%·(1 − 0,21) = 6,459%
Risposta
WACC = 6,459%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,515 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
11.Probabilità
Risposta: P = 0,5981
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementare
P(nessun sei) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Risposta
P = 0,5981
12.Probabilità
Risposta: P = 0,07054
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,69 = 0,01008
P(X = 1) = 9·0,4·0,68 = 0,06047
Sommale
P = 0,01008 + 0,06047 = 0,07054
Risposta
P = 0,07054
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 1,02
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,6923)/2 = 0,8461
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,8461 dentro la tabella e leggi z.
z = 1,02
Risposta
z = 1,02
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 169 cm
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Ritorno a x
x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm
Risposta
x = 169,03 cm
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −14,17 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 121 − 129 = −8
Errore standard
SE = √(19²/50 + 9²/30) = 3,15
Margine di errore
E = 1,96·3,15 = 6,173
Intervallo
−8 ± 6,173 → [−14,17, −1,827]
Risposta
limite inferiore = −14,17 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 499
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·13/1,5)² = 498,4
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 499
Risposta
n = 499
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Statistica test
t = (206 − 200)/2,5 = 2,4
Risposta
t = 2,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 121,6
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·12/√100 = 1,974
Limite dell'intervallo
L = 123,6 − 1,974 = 121,6
Risposta
L = 121,6
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = −0,9319
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 356 − 21·111/6 = −32,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2123 − 111²/6 = 69,5
Coefficiente di correlazione
r = −32,5/√(17,5·69,5) = −0,9319
Risposta
r = −0,9319
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 17,9
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 84/5 = 16,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Retta di regressione
b = −22/10 = −2,2
a = 16,8 − (−2,2)·3 = 23,4
ŷ = 23,4 − 2,2·x
Previsione
ŷ = 23,4 + (−2,2)·2,5 = 17,9
Risposta
ŷ = 17,9
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