Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 18%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 18%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 24 anni. Il conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €506% / 12N = 288
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi, dura 9 anni e costa €1 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 10%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €60 000M = €1 000n = 9r = 10%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €25 000 e restituisce €9 000, €17 000, €13 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 9 000CF2 = 17 000CF3 = 13 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 3 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 6%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 7,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 3y0 = 6%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 8 anni e quota €940. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 8P = €940
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il premio per il rischio di mercato è del 5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,1D/E = 0,25T = 30%rf = 2,5%rm − rf = 5%
re = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 28, 51, 51, 30, 26, 36.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è superiore a 92?
μ = 100σ = 8x = 92
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 8 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
3 / 8
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 12 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 12p = 0,4
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9743. Trova z con due decimali.
A = 0,9743
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 80 % dei dati (il 80° percentile).
μ = 32σ = 6P = 80%
x = min
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 11 elementi ha media 60,5 e deviazione standard s = 9. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 11x̄ = 60,5s = 990%t(10) = 1,812
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 18. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 18E = 295%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 502,3 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,3s = 4n = 25
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 500 contro H₁: μ < 500 viene eseguito con α = 0.05 su un campione di 36; la deviazione standard è nota e vale 3. In realtà la media è 499.5. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 500μ = 499,5σ = 3n = 36α = 0,05
β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 9.
n = 6x = 9
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 19,72 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,18/365 = 0,0004932
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0004932)365 − 1 = 1,197 − 1 = 19,72%
Risposta
EAR = 19,72%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 32056 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,1−9)/0,1 = 5,759
Prezzo d’acquisto annualizzato
60 000/5,759 = 10 418,43
EAC
EAC = 10 418,43 + 1 000 = €11 418,43
Risposta
EAC = €11 418,43
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 24,33 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 1 828,70
NPV(25%) = −264,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€940 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(7%) = €940,29, P(8%) = €885,07
YTM = 7,005%
Risposta
YTM = 7,005%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,355 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·5%·(1 − 0,258) = 7,355%
Risposta
WACC = 7,355%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 8,963 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,1·(1 + 0,7·0,25) = 1,293
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,293·5% = 8,963%
Risposta
re = 8,963%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 11,35
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1
Tavola della normale standard
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
11.Probabilità
Risposta: P = 0,05455
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455
Risposta
P = 0,05455
12.Probabilità
Risposta: P = 0,01959
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,612 = 0,002177
P(X = 1) = 12·0,4·0,611 = 0,01741
Sommale
P = 0,002177 + 0,01741 = 0,01959
Risposta
P = 0,01959
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 2,23
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,9743)/2 = 0,9871
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9871 dentro la tabella e leggi z.
z = 2,23
Risposta
z = 2,23
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 37,05 min
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Ritorno a x
x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min
Risposta
x = 37,05 min
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 55,58
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Margine di errore
E = 1,812·9/√11 = 4,917
Intervallo
60,5 ± 4,917 → [55,58, 65,42]
Risposta
limite inferiore = 55,58
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 312
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·18/2)² = 311,2
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 312
Risposta
n = 312
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,875
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Statistica test
t = (502,3 − 500)/0,8 = 2,875
Risposta
t = 2,875
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 74,05 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 3/√36 = 0,5
x̄c = 500 − 1,645·0,5 = 499,2
z sotto la media vera
z = (499,2 − 499,5)/0,5 = −0,645
Errore di secondo tipo
potenza = P(Z < −0.645) = 25.95%
β = 100% − 25,95% = 74,05%
Risposta
β = 74,05%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9689
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 420/6 = 70
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238
Syy = Σ(y − ȳ)² = 862
Coefficiente di correlazione
r = 238/√(70·862) = 0,9689
Risposta
r = 0,9689
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 42,63
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 233/6 = 38,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 133
Retta di regressione
b = 133/70 = 1,9
a = 38,83 − 1,9·7 = 25,53
ŷ = 25,53 + 1,9·x
Previsione
ŷ = 25,53 + 1,9·9 = 42,63
Risposta
ŷ = 42,63
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