Una rendita paga €500 alla fine di ogni anno per 15 anni. Il tasso di interesse è il 8% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €500i = 8%n = 15
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €1 000 all’inizio di ogni anno per 28 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 8% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 28? Trova FV.
A = €1 000i = 8%n = 28
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €26 000, €26 000, €30 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €20 000 rende €5 500 alla fine di ogni anno per 5 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €20 000CF = €5 500n = 5
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 5 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €893 quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 5P = €893YTM = 5,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €925 con un rendimento a scadenza del 4% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 11,7 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 25 punti base.
P0 = €925y = 4%D = 11,7Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €8 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo delle azioni privilegiate del 8% e il costo del debito al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,2 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,25. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio del 3,5% e il premio per il rischio di mercato del 5%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 51, 32, 22, 26, 45.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 50. Trova il punteggio z z di un voto pari a 400.
μ = 500σ = 50x = 400
z =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 15? L'ordine non conta.
n = 15k = 2
N =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 6 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 6p = 0,7
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 82 e 107,5 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 100σ = 15x1 = 82x2 = 107,5
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 95% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 90% per una media, basato su 100 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 7. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 99% basato su 900 osservazioni?
90%n₁ = 100E₁ = 799%n₂ = 900
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 30 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 8,8 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 29, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 16,047 e il 2,5% sopra 45,722.
n = 30s = 8,8 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 495,8 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 495,8s = 12n = 16
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 25 misure ha media 494,4. La deviazione standard della popolazione è 10. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 494,4σ = 10n = 2590%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 80?
n = 6ŷ = 80
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 4280 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3152)/0,08 = 8,559
Valore attuale
PV = 500·8,559 = €4 279,74
Risposta
PV = €4 279,74
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 102966 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,08)28 − 1)/0,08 = 95,34
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 1 000·95,34·1,08 = €102 965,94
Risposta
FV = €102 965,94
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 10180 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 26 000/1,08 = 24 074,07
CF2/(1 + 0,08)2 = 26 000/1,166 = 22 290,81
CF3/(1 + 0,08)3 = 30 000/1,26 = 23 814,97
Sommali
NPV = €10 179,85
Risposta
NPV = €10 179,85
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 11,65 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−5)/i = 20 000/5 500 = 3,636
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 11%: 3,696
i = 12%: 3,605
IRR = 11,65%
Risposta
IRR = 11,65%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 2,994 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,055)−5 = €765,13
Cedola
C = (893 − 765,13)/4,27 = €29,94
Tasso cedolare
c = 29,94/1000 = 2,994%
Risposta
c = 2,994%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 899 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 11,7/1,04 = 11,25
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −11,25·(0,0025) = −2,812%
P ≈ 925·(1 − 0,02812) = €898,98
Risposta
P = €898,98
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,615 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,2/(1 + 0,75·0,4) = 0,9231
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,9231·(1 + 0,75·1,25) = 1,788
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3,5% + 1,788·5% = 12,44%
Risposta
re = 12,44%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 12,4
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (400 − 500)/50 = −2
Risposta
z = −2
11.Probabilità
Risposta: N = 105
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105
Risposta
N = 105
12.Probabilità
Risposta: P = 0,01094
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,36 = 0,000729
P(X = 1) = 6·0,7·0,35 = 0,01021
Sommale
P = 0,000729 + 0,01021 = 0,01094
Risposta
P = 0,01094
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,5764
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2
z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5
Area compresa
P = Φ(0,5) − Φ(−1,2) = 0,6915 − 0,1151 = 0,5764
Risposta
P = 0,5764
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 566 h
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,95
z dalla tabella
z ≈ 1,64
Di nuovo nelle unità originali
x = 500 + 1,64·40 = 566 h
Risposta
x = 566 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 3,654
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(100/900) = 0,522
Nuovo margine
E₂ = 7·0,522 = 3,654
Risposta
E₂ = 3,654
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 11,83 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 29·8,8² = 2246
Limiti per σ²
2246/45,722 = 49,12
2246/16,047 = 139,9
Limite per σ
σ = √139,9 = 11,83 µm
Risposta
σ = 11,83 µm
Intervallo al 95% per σ: [7,008, 11,83] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Statistica test
t = (495,8 − 500)/3 = −1,4
Risposta
t = −1,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 497,7
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·10/√25 = 3,29
Limite dell'intervallo
U = 494,4 + 3,29 = 497,7
Risposta
U = 497,7
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9914
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 14397 − 120·703/6 = 337
Sxx = 2470 − 120²/6 = 70
Syy = 84019 − 703²/6 = 1651
Coefficiente di correlazione
r = 337/√(70·1651) = 0,9914
Risposta
r = 0,9914
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 7,205
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 476/6 = 79,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228
Retta di regressione
b = 228/70 = 3,257
a = 79,33 − 3,257·7 = 56,53
ŷ = 56,53 + 3,257·x
Risolvi per x
x = (80 − 56,53)/3,257 = 7,205
Risposta
x = 7,205
Questo è materiale di esercitazione indipendente. ExamProblems non è affiliato né approvato dall’organizzazione che gestisce questo esame, e il nome dell’esame è usato solo per descrivere i contenuti. CFA® and Chartered Financial Analyst® sono marchi di CFA Institute, che non è affiliato a ExamProblems, non lo approva e non ne garantisce l’accuratezza.