Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €6 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 7% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €6 000g = 3%r = 7%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €15 0003,6% / 12N = 48
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €30 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 1% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 11%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €30 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e rende €23 000, €21 500, €12 500, €16 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 6%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 9 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 038 quando il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 9P = €1 038YTM = 3,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 17 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 152. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%P = €1 152prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 5 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €1 000 000. Il suo WACC è del 7,92%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €46,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 6%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 17, 17, 27, 35, 30, 33.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 60. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 470?
μ = 500σ = 60x = 470
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,1, 0,05, 0,35, 0,3
σ =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 10 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 10p = 0,25
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 247,5 e 256,25 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 247,5x2 = 256,25
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 20% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.
μ = 100 puntiσ = 15 punti20%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 64 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 7,1. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 576 osservazioni?
99%n₁ = 64E₁ = 7,1n₂ = 576
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 38. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 5?
σ = 38E = 590%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 197,9 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 197,9s = 8n = 100
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 64 misure ha media 99,1. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 99,1σ = 4n = 6499%
L =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5,5, 61). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(5,5, 61)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 150000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,003, N = 48
A = 15 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−48) = €336,01
Interessi totali
I = N·A − P = 48·336 − 15 000 = €1 128,36
Risposta
I = €1 128,36
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 50000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 30 000/(0,11 − 0,01) = 300 000,00
NPV
NPV = 300 000,00 − 250 000 = €50 000,00
Risposta
NPV = €50 000,00
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 19,22 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
23 000·1,063 = 27 393,37
21 500·1,062 = 24 157,40
12 500·1,061 = 13 250,00
16 000·1,060 = 16 000,00
TV = 80 800,77
MIRR
MIRR = (80 800,77/40 000)1/4 − 1 = 19,22%
Risposta
MIRR = 19,22%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 3,999 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,035)−9 = €733,73
Cedola
C = (1038 − 733,73)/7,608 = €39,99
Tasso cedolare
c = 39,99/1000 = 3,999%
Risposta
c = 3,999%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 5,832 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1152 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 5%: €1 192,57
y = 6%: €1 144,03
YTC = 5,832%
Risposta
YTC = 5,832%
Il rendimento a scadenza è del 6,497%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 9 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
Parte del debito nel WACC
0,2·5%·(1 − 0,28) = 0,72%
Costo del capitale proprio
re = (7,92% − 0,72%)/0,8 = 9%
Risposta
re = 9%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,366 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
11.Probabilità
Risposta: σ = 1,499
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,7510 = 0,05631
P(X = 1) = 10·0,25·0,759 = 0,1877
Sommale
P = 0,05631 + 0,1877 = 0,244
Risposta
P = 0,244
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,5858
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5
z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25
Area compresa
P = Φ(1,25) − Φ(−0,5) = 0,8944 − 0,3085 = 0,5858
Risposta
P = 0,5858
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 112,6 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,8
z dalla tabella
z ≈ 0,84
Di nuovo nelle unità originali
x = 100 + 0,84·15 = 112,6 punti
Risposta
x = 112,6 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 2,367
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/576) = 0,3333
Nuovo margine
E₂ = 7,1·0,3333 = 2,367
Risposta
E₂ = 2,367
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 157
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·38/5)² = 156,3
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 157
Risposta
n = 157
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,625
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Statistica test
t = (197,9 − 200)/0,8 = −2,625
Risposta
t = −2,625
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 97,81
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 2,576·4/√64 = 1,288
Limite dell'intervallo
L = 99,1 − 1,288 = 97,81
Risposta
L = 97,81
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9304
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 335/6 = 55,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 215
Syy = Σ(y − ȳ)² = 762,8
Coefficiente di correlazione
r = 215/√(70·762,8) = 0,9304
Risposta
r = 0,9304
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 2,7
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 286/5 = 57,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 22
Retta di regressione
b = 22/10 = 2,2
a = 57,2 − 2,2·5 = 46,2
ŷ = 46,2 + 2,2·x
Valore previsto
ŷ = 46,2 + 2,2·5,5 = 58,3
Residuo
e = 61 − 58,3 = 2,7
Risposta
e = 2,7
Il punto si trova sopra la retta.
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