Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 16%, capitalizzato mensilmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 16%m = 12
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €20 0002,4% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €12 000, €11 000, €20 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e restituisce €12 000, €7 000, €9 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 7 000CF3 = 9 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 4 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €915 quando il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 4P = €915YTM = 7%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €970 con un rendimento a scadenza del 7% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 10,8 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 25 punti base.
P0 = €970y = 7%D = 10,8Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €42,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 3%rm = 9,5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 58, 37, 40, 41, 47.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è superiore a 60,4?
μ = 70σ = 8x = 60,4
P =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 14? L'ordine non conta.
n = 14k = 4
N =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 7 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?
n = 7p = 0,5k = 5
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Le masse di scatole sono indipendenti e normali con media 12 kg e deviazione standard 0,8 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 16 di essi sia inferiore a 196,8 kg. Arrotonda z a due decimali.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 16< 196.8 kg
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 100 telefoni, media 63,5 h, deviazione standard nota 5 h. Modello 2: 100 telefoni, media 73,5 h, deviazione standard nota 19 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 23,5 kg, deviazione standard 5,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 10 parcelle, media 34 kg, deviazione standard 1 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 50 pezzi ha lunghezza media 148 mm, e la deviazione standard nota della linea è 20 mm. Linea 2: un campione di 80 pezzi ha media 140,1 mm, deviazione standard nota 10 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 4E = 399%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 17,23 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,16/12 = 0,01333
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,01333)12 − 1 = 1,172 − 1 = 17,23%
Risposta
EAR = 17,23%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 354,1 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,887
A = 20 000·0,002/(1 − 0,887) = €354,07
Risposta
A = €354,07
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −8582 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 12 000/1,08 = 11 111,11
CF2/(1 + 0,08)2 = 11 000/1,166 = 9 430,73
CF3/(1 + 0,08)3 = 20 000/1,26 = 15 876,64
Sommali
NPV = €−8 581,52
Risposta
NPV = €−8 581,52
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 20,24 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 69,44
NPV(25%) = −1 312,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 20 + 5·69,44/(69,44 − (−1 312,00)) = 20,25%
esatto: NPV(20,24%) = 0 → IRR = 20,24%
Risposta
IRR = 20,24%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 4,491 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,07)−4 = €762,90
Cedola
C = (915 − 762,90)/3,387 = €44,91
Tasso cedolare
c = 44,91/1000 = 4,491%
Risposta
c = 4,491%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 994,5 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 10,8/1,07 = 10,09
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −10,09·(−0,0025) = 2,523%
P ≈ 970·(1 + 0,02523) = €994,48
Risposta
P = €994,48
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,85 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·3%·(1 − 0,25) = 10,85%
Risposta
WACC = 10,85%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,628 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,2
Tavola della normale standard
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Risposta
P = 0,8849
11.Probabilità
Risposta: N = 1001
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001
Risposta
N = 1001
12.Probabilità
Risposta: P = 0,1641
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione del totale
μT = 192 kg, σT = 0,8·√16 = 3,2 kg
Standardizza
z = (196,8 − 192)/3,2 = 1,5
Probabilità
P = Φ(1,5) = 0,9332
Risposta
P = 0,9332
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 473 h
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Ritorno a x
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
Risposta
x = 473,02 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 3,232 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 63,5 − 73,5 = −10
Errore standard
SE = √(5²/100 + 19²/100) = 1,965
Margine di errore
E = 1,645·1,965 = 3,232
Risposta
E = 3,232 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 3,077 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (5·5,5² + 9·1²)/14 = 11,45
sp = 3,383
Margine di errore
E = 1,761·3,383·√(1/6 + 1/10) = 3,077
Risposta
E = 3,077 kg
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 2,598
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(20²/50 + 10²/80) = √9,25 = 3,041
Statistica test
z = (148 − 140,1)/3,041 = 2,598
Risposta
z = 2,598
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 12
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (2,576·4/3)² = 11,8
Arrotonda per eccesso
n = 12
Risposta
n = 12
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9566
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 86/6 = 14,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50
Syy = Σ(y − ȳ)² = 149,3
Coefficiente di determinazione
r² = −50²/(17,5·149,3) = 0,9566
Risposta
r² = 0,9566
Circa il 95,66% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 58,83
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 383/6 = 63,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 87,5
Retta di regressione
b = 87,5/17,5 = 5
a = 63,83 − 5·5,5 = 36,33
ŷ = 36,33 + 5·x
Previsione
ŷ = 36,33 + 5·4,5 = 58,83
Risposta
ŷ = 58,83
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