Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 24%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 24%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €2 000 all’inizio di ogni anno per 12 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 4% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 12? Trova FV.
A = €2 000i = 4%n = 12
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €32 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 2% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €32 000g = 2%r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €150 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €15 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 10. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €150 000CF1 = €15 000g = 3%n = 10r = 8%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 9 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 3%) quando il suo rendimento a scadenza è del 9%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 9y0 = 9%y1 = 8%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 10 anni. Viene venduta a €1 082. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 5% (2×)n = 10P = €1 082
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €26,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 6,5%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 57, 12, 25, 11, 26, 15, 24.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 104,8.
μ = 100σ = 8x = 104,8
z =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 12? L'ordine non conta.
n = 12k = 5
N =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 11 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 1 risposte corrette?
n = 11p = 0,1k = 1
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 100,75 e 123,25 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 100σ = 15x1 = 100,75x2 = 123,25
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 30% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 500 hσ = 40 h30%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 11 elementi ha media 119 e deviazione standard s = 3. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 11x̄ = 119s = 399%t(10) = 3,169
limite superiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 22. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?
σ = 22E = 0,595%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 80; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 18. Un campione casuale di 144 osservazioni ha media 77,99. Verifica H₀: μ = 80 contro H₁: μ ≠ 80. Trova il p-value p.
μ₀ = 80σ = 18n = 144x̄ = 77,99H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 2 unità con una potenza del 80%. La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 27,11 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,24/365 = 0,0006575
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0006575)365 − 1 = 1,271 − 1 = 27,11%
Risposta
EAR = 27,11%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 31254 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,04)12 − 1)/0,04 = 15,03
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 2 000·15,03·1,04 = €31 253,68
Risposta
FV = €31 253,68
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 70000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 32 000/(0,12 − 0,02) = 320 000,00
NPV
NPV = 320 000,00 − 250 000 = €70 000,00
Risposta
NPV = €70 000,00
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −36748 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 15,99 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, N = 20
Risolvi numericamente
i = 1,999% per semestre
YTM
YTM = 2·1,999% = 3,997%
Risposta
YTM = 3,997%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,471 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·12% + 0,6·6%·(1 − 0,258) = 7,471%
Risposta
WACC = 7,471%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,498 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (104,8 − 100)/8 = 0,6
Risposta
z = 0,6
11.Probabilità
Risposta: N = 792
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792
Risposta
N = 792
12.Probabilità
Risposta: P = 0,3835
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 1) = 11·0,11·0,910 = 11·0,1·0,3487 = 0,3835
Risposta
P = 0,3835
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,4195
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (100,75 − 100)/15 = 0,05
z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55
Area compresa
P = Φ(1,55) − Φ(0,05) = 0,9394 − 0,5199 = 0,4195
Risposta
P = 0,4195
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 479 h
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,3
z dalla tabella
z ≈ −0,52
Di nuovo nelle unità originali
x = 500 − 0,52·40 = 479 h
Risposta
x = 479 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 121,9
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Margine di errore
E = 3,169·3/√11 = 2,866
Intervallo
119 ± 2,866 → [116,1, 121,9]
Risposta
limite superiore = 121,9
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 7438
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·22/0,5)² = 7437
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 7438
Risposta
n = 7438
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,1802
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5
z = (77,99 − 80)/1,5 = −1,34
Area della coda
Φ(1,34) = 0,9099
1 − Φ(1,34) = 0,0901
p-value
p = 2·0,0901 = 0,1802
Risposta
p = 0,1802
p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 99
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = ((1,645 + 0,842)·8/2)² = 98,96
Arrotonda per eccesso
n = 99
Risposta
n = 99
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9929
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 15436 − 129·674/6 = 945
Sxx = 2931 − 129²/6 = 157,5
Syy = 81464 − 674²/6 = 5751
Coefficiente di correlazione
r = 945/√(157,5·5751) = 0,9929
Risposta
r = 0,9929
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 19,33
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 116/6 = 19,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Retta di regressione
b = −21/17,5 = −1,2
a = 19,33 − (−1,2)·3,5 = 23,53
ŷ = 23,53 − 1,2·x
Previsione
ŷ = 23,53 + (−1,2)·3,5 = 19,33
Risposta
ŷ = 19,33
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