Investi €2 000 a un tasso nominale del 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.
PV = €2 0004% / 12n = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €30 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €30 0003,6% / 12N = 72
I = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €7 500 alla fine di ogni anno per 7 anni e poi può essere venduta a €10 000. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €40 000CF = €7 500S = €10 000n = 7r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €26 000, €19 000, €22 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 26 000CF2 = 19 000CF3 = 22 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 4 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 2%) quando il suo rendimento a scadenza è del 7%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 7,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 2%n = 4y0 = 7%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 10 anni e quota €925. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 10P = €925
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,75. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
D/E = 0,75re = 13%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €17,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 3%rm = 7,5%rd = 3%T = 20%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 31, 17, 40, 19, 48, 43, 25.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 40?
μ = 70σ = 15x = 40
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,15, 0,2, 0,1, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 5X + 10. Trova la deviazione standard σY di Y.
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,9251. Trova z con due decimali.
A = 0,9251
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 99 % dei dati (il 99° percentile).
μ = 65σ = 10P = 99%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 25 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 9,8. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 95% calcolato dagli stessi dati?
99%n₁ = 25E₁ = 9,895%
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 30 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 6,2 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 29, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 16,047 e il 2,5% sopra 45,722.
n = 30s = 6,2 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 497,6 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 497,6s = 12n = 49
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 80 contro H₁: μ > 80 viene eseguito con α = 0,10 su un campione di 25; la deviazione standard è nota e vale 10. In realtà la media è 82,8. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 80μ = 82,8σ = 10n = 25α = 0,10
1 − β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2982 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,003, N = 72
A = 30 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−72) = €463,91
Interessi totali
I = N·A − P = 72·463,9 − 30 000 = €3 401,35
Risposta
I = €3 401,35
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −1248 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
7 500·4,564 = 34 228,17
Valore attuale del valore residuo
10 000/2,211 = 4 523,49
NPV
NPV = −40 000 + 34 228,17 + 4 523,49 = −€1 248,33
Risposta
NPV = −€1 248,33
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 32,72 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 1 483,84
NPV(35%) = −1 170,55
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€925 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Risolvi numericamente
P(6%) = €926,40, P(7%) = €859,53
YTM = 6,02%
Risposta
YTM = 6,02%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,542 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −2
Tavola della normale standard
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Risposta
P = 0,02275
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 2,387
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 1,3, Var(X) = 1,51, σX = 1,229
Trasformazione lineare
σY = |5|·1,229 = 6,144
Risposta
σY = 6,144
La media invece si sposta: E(Y) = 5·1,3 + 10 = 16,5.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = −1,44
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,9251 = 0,0749
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,0749 dentro la tabella e leggi z.
z = −1,44
Risposta
z = −1,44
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 88,26 punti
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Ritorno a x
x = 65 + 2,326·10 = 88,26 punti
Risposta
x = 88,26 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 7,457
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/25) = 0,7609
Nuovo margine
E₂ = 9,8·0,7609 = 7,457
Risposta
E₂ = 7,457
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 4,938 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 29·6,2² = 1115
Limiti per σ²
1115/45,722 = 24,38
1115/16,047 = 69,47
Limite per σ
σ = √24,38 = 4,938 µm
Risposta
σ = 4,938 µm
Intervallo al 95% per σ: [4,938, 8,335] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714
Statistica test
t = (497,6 − 500)/1,714 = −1,4
Risposta
t = −1,4
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 54,7 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 80 + 1,282·2 = 82,56
z sotto la media vera
z = (82,56 − 82,8)/2 = −0,118
Potenza
potenza = P(Z > −0,118) = 54,7%
1 − β = 54,7%
Risposta
1 − β = 54,7%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9602
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 461/6 = 76,83
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 826,8
Coefficiente di correlazione
r = 115,5/√(17,5·826,8) = 0,9602
Risposta
r = 0,9602
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 22,65
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 81/5 = 16,2
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86
Retta di regressione
b = 86/40 = 2,15
a = 16,2 − 2,15·6 = 3,3
ŷ = 3,3 + 2,15·x
Previsione
ŷ = 3,3 + 2,15·9 = 22,65
Risposta
ŷ = 22,65
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