Investi €20 000 al 7% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 6 anni.
PV = €20 000r = 7%t = 6
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 19 anni. Il conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €503,6% / 12N = 228
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €14 000, €15 000, €15 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €40 000 e rende €22 000, €16 000, €8 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €42 000 e rende €11 500, €17 000, €22 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 9%n = 11
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 3 anni e quota €975. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 3P = €975
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni quotate €29,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €87 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,10 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €72 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 36, 27, 58, 27, 27.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 36.
μ = 60σ = 12x = 36
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
σ =
12.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 10 €. Si vincono 50 € con probabilità 0,2 e 500 € con probabilità 0,05; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €10€50: p = 0,2€500: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,9015. Trova z con due decimali.
A = 0,9015
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le altezze degli uomini adulti sono distribuiti normalmente con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trascina la soglia in modo che il 30% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 11 elementi ha media 57 e deviazione standard s = 14. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 11x̄ = 57s = 1499%t(10) = 3,169
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 15. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 5?
σ = 15E = 595%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 6 studenti, punteggio medio 44,5, deviazione standard 6,5. Gruppo 2: 15 studenti, punteggio medio 37,2, deviazione standard 11. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 6x̄₁ = 44,5s₁ = 6,5n₂ = 15x̄₂ = 37,2s₂ = 11
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 28 pazienti su 80 con il trattamento A guariscono, e 45 su 100 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 28n₁ = 80x₂ = 45n₂ = 100
z =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 30439 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,07·6 = 0,42
e0,42 = 1,522
Valore futuro
FV = 20 000·1,522 = €30 439,23
Risposta
FV = €30 439,23
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 16329 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 14 000/1,05 = 13 333,33
CF2/(1 + 0,05)2 = 15 000/1,103 = 13 605,44
CF3/(1 + 0,05)3 = 15 000/1,158 = 12 957,56
Sommali
NPV = €−5 103,66
Risposta
NPV = €−5 103,66
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 7,347 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 11 500 − 22 000 = −10 500
ΔCF2 = 17 000 − 16 000 = 1 000
ΔCF3 = 22 000 − 8 500 = 13 500
TIR della differenza
NPVΔ(7%) = 80,38
NPVΔ(8%) = −148,15
r* = 7,347%
Risposta
r* = 7,347%
Verifica: al 7,347% entrambi i VAN valgono €1 250,74.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 586,5 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,045, N = 22
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,3797)/0,045 = €206,77
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,3797 = €379,70
Prezzo
P = €586,47
Risposta
P = €586,47
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,934 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€975 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(5%) = €1 000,00, P(6%) = €973,27
YTM = 5,934%
Risposta
YTM = 5,934%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,754 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
WACC
WACC = 0,4286·10% + 0,5714·6%·(1 − 0,28) = 6,754%
Risposta
WACC = 6,754%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,591 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (36 − 60)/12 = −2
Risposta
z = −2
11.Probabilità
Risposta: σ = 0,8367
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Varianza
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
σ = √0,7 = 0,8367
Risposta
σ = 0,8367
12.Probabilità
Risposta: E(G) = 25 €
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 40 (p = 0,2), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,75)
Valore atteso
E(G) = 40·0,2 + 490·0,05 − 10·0,75 = 25 €
Risposta
E(G) = 25 €
Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = −1,29
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,9015 = 0,0985
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,0985 dentro la tabella e leggi z.
z = −1,29
Risposta
z = −1,29
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 181,6 cm
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,7
z dalla tabella
z ≈ 0,52
Di nuovo nelle unità originali
x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm
Risposta
x = 181,6 cm
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 13,38
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Margine di errore
E = 3,169·14/√11 = 13,38
Risposta
E = 13,38
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 35
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·15/5)² = 34,57
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 35
Risposta
n = 35
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,509
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (5·6,5² + 14·11²)/19 = 100,3
sp = 10,01
Errore standard
SE = 10,01·√(1/6 + 1/15) = 4,837
Statistica test
t = (44,5 − 37,2)/4,837 = 1,509
Risposta
t = 1,509
Con df = 19, il valore critico bilaterale al 5% è 2,093; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −1,358
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 28/80 = 0,35
p̂₂ = 45/100 = 0,45
p̂ = 73/180 = 0,4056
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,4056·0,5944·(1/80 + 1/100)) = 0,07365
Statistica test
z = (0,35 − 0,45)/0,07365 = −1,358
Risposta
z = −1,358
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9722
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 321/6 = 53,5
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 251,5
Coefficiente di correlazione
r = 64,5/√(17,5·251,5) = 0,9722
Risposta
r = 0,9722
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 64,87
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 363/6 = 60,5
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76,5
Retta di regressione
b = 76,5/17,5 = 4,371
a = 60,5 − 4,371·4,5 = 40,83
ŷ = 40,83 + 4,371·x
Previsione
ŷ = 40,83 + 4,371·5,5 = 64,87
Risposta
ŷ = 64,87
Questo è materiale di esercitazione indipendente. ExamProblems non è affiliato né approvato dall’organizzazione che gestisce questo esame, e il nome dell’esame è usato solo per descrivere i contenuti. CFA® and Chartered Financial Analyst® sono marchi di CFA Institute, che non è affiliato a ExamProblems, non lo approva e non ne garantisce l’accuratezza.