Investi €20 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 3 anni.
PV = €20 0003,6% / 4n = 3
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni al 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €15 0005,4% / 12N = 36
I = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi, dura 8 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 5%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €60 000M = €5 000n = 8r = 5%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €11 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 5. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €11 000g = 4%n = 5r = 8%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 5,5%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 8 anni e quota €1 075. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 8P = €1 075
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1. Il suo costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
D/E = 1re = 9%rd = 7%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €8 000 000 e un costo del capitale proprio del 13%. Il suo debito è costituito da 5 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 5%, 7 anni alla scadenza) quotate €918 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 44, 57, 58, 22, 36.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è superiore a 79?
μ = 70σ = 15x = 79
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
σ =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 7 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,6, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 7p = 0,6
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 245 e 254 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 245x2 = 254
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).
μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
15.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 6 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 5,5 e deviazione standard 2,7. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.
n = 6d̄ = 5,5sd = 2,799%t(5) = 4,032
limite superiore = mmHg
16.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 94,5 kg, deviazione standard 10 kg. Gruppo di parcelle 2: 13 parcelle, media 88 kg, deviazione standard 3 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 120,9 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 120,9s = 8n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 4E = 290%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 63?
n = 5ŷ = 63
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 22270 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,0045, N = 36
A = 15 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−36) = €452,26
Interessi totali
I = N·A − P = 36·452,3 − 15 000 = €1 281,44
Risposta
I = €1 281,44
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 14283 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,05−8)/0,05 = 6,463
Prezzo d’acquisto annualizzato
60 000/6,463 = 9 283,31
EAC
EAC = 9 283,31 + 5 000 = €14 283,31
Risposta
EAC = €14 283,31
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2709 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,04)/(1,08))5 = 0,828
PV = 11 000/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,828) = 47 290,78
NPV
NPV = 47 290,78 − 50 000 = −€2 709,22
Risposta
NPV = −€2 709,22
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1068 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,0275, N = 6
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,8498)/0,0275 = €218,49
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8498 = €849,78
Prezzo
P = €1 068,28
Risposta
P = €1 068,28
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 1,977 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 075 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(1%) = €1 153,03, P(2%) = €1 073,25
YTM = 1,977%
Risposta
YTM = 1,977%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,265 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·7%·(1 − 0,21) = 7,265%
Risposta
WACC = 7,265%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,15 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 0,6
Tavola della normale standard
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Risposta
P = 0,2743
11.Probabilità
Risposta: σ = 0,8367
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Varianza
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
σ = √0,7 = 0,8367
Risposta
σ = 0,8367
12.Probabilità
Risposta: P = 0,01884
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,47 = 0,001638
P(X = 1) = 7·0,6·0,46 = 0,0172
Sommale
P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884
Risposta
P = 0,01884
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,6295
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (245 − 250)/5 = −1
z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8
Area compresa
P = Φ(0,8) − Φ(−1) = 0,7881 − 0,1587 = 0,6295
Risposta
P = 0,6295
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 26,95 min
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Ritorno a x
x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min
Risposta
x = 26,95 min
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 9,944 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 5, t = 4,032
Margine di errore
E = 4,032·2,7/√6 = 4,444
Intervallo
5,5 ± 4,444 → [1,056, 9,944]
Risposta
limite superiore = 9,944 mmHg
16.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 14,88 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (7·10² + 12·3²)/19 = 42,53
sp = 6,521
Margine di errore
E = 2,861·6,521·√(1/8 + 1/13) = 8,384
Intervallo
6,5 ± 8,384 → [−1,884, 14,88]
Risposta
limite superiore = 14,88 kg
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 0,675
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Statistica test
t = (120,9 − 120)/1,333 = 0,675
Risposta
t = 0,675
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 11
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (1,645·4/2)² = 10,82
Arrotonda per eccesso
n = 11
Risposta
n = 11
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = −0,9548
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 86
Coefficiente di correlazione
r = −28/√(10·86) = −0,9548
Risposta
r = −0,9548
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 4,048
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 377/5 = 75,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168
Retta di regressione
b = 168/40 = 4,2
a = 75,4 − 4,2·7 = 46
ŷ = 46 + 4,2·x
Risolvi per x
x = (63 − 46)/4,2 = 4,048
Risposta
x = 4,048
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