Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €2 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 7,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €2 000g = 1,5%r = 7,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 5? Trova il debito residuo B.
P = €250 0004,8% / 12N = 300k = 60
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €29 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 1% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €29 000g = 1%r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €25 000 e restituisce €12 000, €18 500, €16 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 12 000CF2 = 18 500CF3 = 16 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4,5% e scade tra 8 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5,5% al 6,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 4,5%n = 8y1 = 5,5%y2 = 6,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 18 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 304. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%P = €1 304prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 6 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €31,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 1%rm = 7,5%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 17, 36, 11, 32, 41, 27.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 46?
μ = 50σ = 8x = 46
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,3, 0,3, 0,15
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 5X + 10. Trova la deviazione standard σY di Y.
X è normale con media 250 g e deviazione standard 4 g; Y è indipendente e normale con media 500 g e deviazione standard 9 g. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 754,9 g. Arrotonda z a due decimali.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 754,9 g
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le altezze degli uomini adulti sono distribuiti normalmente con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trascina la soglia in modo che il 15% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.
μ = 178 cmσ = 7 cm15%
x = cm
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 9 elementi ha media 37 e deviazione standard s = 16. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 9x̄ = 37s = 1699%t(8) = 3,355
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 5. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?
σ = 5E = 0,590%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 80 pezzi ha lunghezza media 93,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 6 mm. Linea 2: un campione di 30 pezzi ha media 94,6 mm, deviazione standard nota 9 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2? La deviazione standard è 12. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 12E = 295%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 33333 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 300 − 60 = 240
B = 1432·(1 − (1 + 0,004)−240)/0,004 = €220 737,49
Risposta
B = €220 737,49
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 72222 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 29 000/(0,1 − 0,01) = 322 222,22
NPV
NPV = 322 222,22 − 250 000 = €72 222,22
Risposta
NPV = €72 222,22
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 37,09 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(35%) = 746,08
NPV(40%) = −976,68
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 35 + 5·746,08/(746,08 − (−976,68)) = 37,17%
esatto: NPV(37,09%) = 0 → IRR = 37,09%
Risposta
IRR = 37,09%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −58,43 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1304 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 2%: €1 342,23
y = 3%: €1 275,31
YTC = 2,563%
Risposta
YTC = 2,563%
Il rendimento a scadenza è del 4,5%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,92 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·13% + 0,4·4%·(1 − 0,3) = 8,92%
Risposta
WACC = 8,92%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,614 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 4,11
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,25 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,15 = 2,7
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,15 = 11,4
Varianza
Var(X) = 11,4 − 2,7² = 4,11
Risposta
Var(X) = 4,11
12.Probabilità
Risposta: σY = 5,723
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 2,3, Var(X) = 1,31, σX = 1,145
Trasformazione lineare
σY = |5|·1,145 = 5,723
Risposta
σY = 5,723
La media invece si sposta: E(Y) = 5·2,3 + 10 = 21,5.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,3085
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della somma
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standardizza
z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5
Coda superiore
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 185,3 cm
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,85
z dalla tabella
z ≈ 1,04
Di nuovo nelle unità originali
x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm
Risposta
x = 185,3 cm
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 19,11
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Margine di errore
E = 3,355·16/√9 = 17,89
Intervallo
37 ± 17,89 → [19,11, 54,89]
Risposta
limite inferiore = 19,11
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 271
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·5/0,5)² = 270,6
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 271
Risposta
n = 271
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −0,6198
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(6²/80 + 9²/30) = √3,15 = 1,775
Statistica test
z = (93,5 − 94,6)/1,775 = −0,6198
Risposta
z = −0,6198
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 139
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (1,96·12/2)² = 138,3
Arrotonda per eccesso
n = 139
Risposta
n = 139
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,991
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 511/6 = 85,17
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 553,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1963
Coefficiente di determinazione
r² = 553,5²/(157,5·1963) = 0,991
Risposta
r² = 0,991
Circa il 99,1% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 35,5
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 213/6 = 35,5
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 23,5
Retta di regressione
b = 23,5/17,5 = 1,343
a = 35,5 − 1,343·3,5 = 30,8
ŷ = 30,8 + 1,343·x
Previsione
ŷ = 30,8 + 1,343·3,5 = 35,5
Risposta
ŷ = 35,5
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