Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 25%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 25%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €25 0002,4% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi. Genera €21 500 alla fine di ogni anno per 4 anni e poi può essere venduta a €12 000. Il costo del capitale è il 6%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €80 000CF = €21 500S = €12 000n = 4r = 6%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €100 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €17 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 5% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 7. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €17 000g = 5%n = 7r = 12%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 5 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 4% al 5,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 3%n = 5y1 = 4%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €900 con un rendimento a scadenza del 3% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 7,3 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 100 punti base.
P0 = €900y = 3%D = 7,3Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,5. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
D/E = 0,5re = 13%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €16,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 1,5%rm = 7,5%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 51, 38, 59, 42, 15, 41.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 120.
μ = 100σ = 20x = 120
z =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 6? L'ordine non conta.
n = 6k = 2
N =
12.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 10 €. Si vincono 30 € con probabilità 0,3 e 100 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €10€30: p = 0,3€100: p = 0,02
E(G) = €
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9722. Trova z con due decimali.
A = 0,9722
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le altezze degli uomini adulti sono distribuiti normalmente con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trascina la soglia in modo che il 25% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
15.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 13 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 9,2 e deviazione standard 3,3. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per la differenza media.
n = 13d̄ = 9,2sd = 3,395%t(12) = 2,179
limite inferiore = mmHg
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 8. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?
σ = 8E = 2,599%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 9 studenti, punteggio medio 96,5, deviazione standard 11. Gruppo 2: 12 studenti, punteggio medio 88,8, deviazione standard 2. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 9x̄₁ = 96,5s₁ = 11n₂ = 12x̄₂ = 88,8s₂ = 2
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 5. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 5E = 2,599%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 7.
n = 6x = 7
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 26,56 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,25/2 = 0,125
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,125)2 − 1 = 1,266 − 1 = 26,56%
Risposta
EAR = 26,56%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 442,6 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,887
A = 25 000·0,002/(1 − 0,887) = €442,58
Risposta
A = €442,58
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 4005 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
21 500·3,465 = 74 499,77
Valore attuale del valore residuo
12 000/1,262 = 9 505,12
NPV
NPV = −80 000 + 74 499,77 + 9 505,12 = €4 004,89
Risposta
NPV = €4 004,89
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −11722 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −62,24 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 7,3/1,03 = 7,087
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −7,087·(0,01) = −7,087%
P ≈ 900·(1 − 0,07087) = €836,21
Risposta
P = €836,21
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,15 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (120 − 100)/20 = 1
Risposta
z = 1
11.Probabilità
Risposta: N = 15
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
Risposta
N = 15
12.Probabilità
Risposta: E(G) = 1 €
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 20 (p = 0,3), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,68)
Valore atteso
E(G) = 20·0,3 + 90·0,02 − 10·0,68 = 1 €
Risposta
E(G) = 1 €
Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 2,2
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,9722)/2 = 0,9861
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9861 dentro la tabella e leggi z.
z = 2,20
Risposta
z = 2,20
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 182,7 cm
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,75
z dalla tabella
z ≈ 0,67
Di nuovo nelle unità originali
x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm
Risposta
x = 182,7 cm
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 7,206 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 12, t = 2,179
Margine di errore
E = 2,179·3,3/√13 = 1,994
Intervallo
9,2 ± 1,994 → [7,206, 11,19]
Risposta
limite inferiore = 7,206 mmHg
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 68
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·8/2,5)² = 67,95
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 68
Risposta
n = 68
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,393
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (8·11² + 11·2²)/19 = 53,26
sp = 7,298
Errore standard
SE = 7,298·√(1/9 + 1/12) = 3,218
Statistica test
t = (96,5 − 88,8)/3,218 = 2,393
Risposta
t = 2,393
Con df = 19, il valore critico bilaterale al 5% è 2,093; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 27
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (2,576·5/2,5)² = 26,54
Arrotonda per eccesso
n = 27
Risposta
n = 27
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = −0,9864
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 146/6 = 24,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39
Syy = Σ(y − ȳ)² = 89,33
Coefficiente di correlazione
r = −39/√(17,5·89,33) = −0,9864
Risposta
r = −0,9864
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 11,5
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.