Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è il tempo di esecuzione del radix sort LSD su n interi con d cifre in base k?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché la ricerca binaria non dà tempo O(log n) su una lista concatenata semplice?

  1. ALe liste concatenate non si possono ordinare
  2. BI confronti sui nodi di una lista concatenata sono più lenti
  3. CLa ricerca binaria richiede almeno il doppio della memoria
  4. DRaggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
3.Strutture datiMedia

Quale tipo di dato astratto usa l'algoritmo di Dijkstra per scegliere il prossimo vertice da elaborare?

  1. AUna coda FIFO
  2. BUna coda con priorità di minimo
  3. CUna pila
  4. DUn insieme senza ordinamento
4.Strutture datiDifficile

La struttura union-find (insiemi disgiunti) con unione per rango e compressione dei cammini ha un costo ammortizzato per operazione di:

  1. AO(n²)
  2. BEsattamente O(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 13 vertici e 22 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 13|E| = 22
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in A? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(d(n + k))

Perché è questa la risposta

Ciascuna delle d passate è un counting sort che costa O(n + k), quindi per d e k fissati il totale è lineare in n.

Risposta

B · O(d(n + k))
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice

Perché è questa la risposta

La ricerca binaria richiede accesso O(1) all'elemento centrale; su una lista concatenata arrivarci costa tempo lineare, quindi il totale è O(n).

Risposta

D · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
3.Strutture dati

Risposta: B · Una coda con priorità di minimo

Perché è questa la risposta

Una coda con priorità di minimo, di solito un heap binario, restituisce in modo efficiente il vertice non visitato con la distanza minima.

Risposta

B · Una coda con priorità di minimo
4.Strutture dati

Risposta: D · O(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante

Perché è questa la risposta

Con entrambe le ottimizzazioni, le operazioni richiedono un tempo ammortizzato O(α(n)); α(n) ≤ 4 per qualsiasi n realistico.

Risposta

D · O(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 10

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

13 − 1 = 12

Lati da togliere

k = 22 − 12 = 10

Risposta

k = 10
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Vicini comuni

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Risposta

N = 2

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