Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo di Bellman–Ford su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V + E)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché la ricerca binaria non dà tempo O(log n) su una lista concatenata semplice?

  1. ALe liste concatenate non si possono ordinare
  2. BLa ricerca binaria richiede almeno il doppio della memoria
  3. CI confronti sui nodi di una lista concatenata sono più lenti
  4. DRaggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
3.Strutture datiMedia

Quale condizione di bilanciamento mantiene un albero AVL in ogni nodo?

  1. AI due sottoalberi di ogni nodo contengono esattamente lo stesso numero di nodi
  2. BTutte le foglie sono esattamente alla stessa profondità
  3. CLe altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
  4. DOgni nodo è colorato di rosso o di nero
4.Strutture datiDifficile

Per ogni elemento di un array vuoi il successivo elemento maggiore alla sua destra, in tempo totale O(n). Quale struttura aiuta?

  1. AUna tabella hash di tutti gli elementi
  2. BUna pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
  3. CUna coda che contiene ogni coppia di elementi
  4. DUn albero binario di ricerca ricostruito per ogni elemento
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 12 vertici e 19 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 12|E| = 19
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da B a D? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(V × E)

Perché è questa la risposta

Ciascuno dei V − 1 turni rilassa tutti gli E archi, da cui O(VE); in cambio gestisce pesi negativi degli archi.

Risposta

A · O(V × E)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice

Perché è questa la risposta

La ricerca binaria richiede accesso O(1) all'elemento centrale; su una lista concatenata arrivarci costa tempo lineare, quindi il totale è O(n).

Risposta

D · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
3.Strutture dati

Risposta: C · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1

Perché è questa la risposta

Il fattore di bilanciamento (altezza sinistra − altezza destra) deve essere −1, 0 o 1; le rotazioni lo ripristinano dopo inserimenti e cancellazioni.

Risposta

C · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
4.Strutture dati

Risposta: B · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta

Perché è questa la risposta

Scorrendo da sinistra a destra, si estrae ogni elemento della pila minore di quello corrente (l'elemento corrente è la loro risposta), poi lo si inserisce; ogni elemento si sposta al massimo due volte.

Risposta

B · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

12 − 1 = 11

Lati da togliere

k = 19 − 11 = 8

Risposta

k = 8
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 7

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un altro passo

(M³)BD = 1·0 + 4·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 2·1 = 7

Risposta

N = 7

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