Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La complessità temporale del Fibonacci ricorsivo ingenuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) è:

  1. AEsponenziale
  2. BLogaritmica
  3. CLineare
  4. DCostante
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Usando il teorema dell'esperto (master theorem), T(n) = 8T(n/2) + O(n²) ha come soluzione:

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Strutture datiMedia

In una coda circolare memorizzata in un array di capacità n, come si calcola la posizione successiva all'indice i?

  1. A2i + 1
  2. B(i + 1) mod n
  3. Ci + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.Strutture datiDifficile

Le chiavi 5, 3, 8, 1 vengono inserite in quest'ordine in un min-heap binario vuoto basato su array. Qual è l'array finale?

  1. A[1, 3, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 16 vertici e 20 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 16|E| = 20
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
1215671310596ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Esponenziale

Perché è questa la risposta

L'albero delle chiamate cresce all'incirca come φⁿ (circa 1,618ⁿ). La memoizzazione la riduce a O(n).

Risposta

A · Esponenziale
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(n³)

Perché è questa la risposta

log₂ 8 = 3 e n² cresce più lentamente di n³, quindi dominano le foglie: Θ(n³).

Risposta

A · Θ(n³)
3.Strutture dati

Risposta: B · (i + 1) mod n

Perché è questa la risposta

L'operazione modulo riporta l'indice n − 1 a 0, così l'array viene riutilizzato senza spostare elementi.

Risposta

B · (i + 1) mod n
4.Strutture dati

Risposta: A · [1, 3, 8, 5]

Perché è questa la risposta

Dopo 5, 3, 8 l'array è [3, 5, 8]; 1 va all'indice 3, si scambia con il genitore 5 e poi con 3, dando [1, 3, 8, 5].

Risposta

A · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 5

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

16 − 1 = 15

Lati da togliere

k = 20 − 15 = 5

Risposta

k = 5
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 31

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 12
B (12): C: 27, D: 18, G: 17
G (17): C: 26
D (18): F: 31
C (26): E: 33
F (31)
E (33)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 31

Risposta

d(F) = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms