Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(n) ha come soluzione:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la differenza tra un problema indecidibile e uno intrattabile?

  1. AI problemi intrattabili non si possono risolvere con alcun algoritmo, mentre quelli indecidibili richiedono solo tempo esponenziale
  2. BPer un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento
  3. CEntrambi significano che il problema non ha alcun algoritmo
  4. DI problemi indecidibili sono in NP, mentre quelli intrattabili sono in P
3.Strutture datiMedia

Perché un heap binario si può memorizzare in un array senza puntatori?

  1. AGli heap non contengono mai più di 100 elementi
  2. BGli array mantengono automaticamente le chiavi in ordine, quindi non servono puntatori
  3. CTutte le chiavi di un heap sono uguali
  4. DÈ un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture datiDifficile

In un buffer circolare, front == rear può significare sia vuoto sia pieno. Qual è un modo comune per distinguere i due casi?

  1. AMantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata
  2. BRendere la dimensione del buffer una potenza di due
  3. CMemorizzare front e rear nella stessa variabile
  4. DSvuotare sempre il buffer ogni volta che front è uguale a rear, così lo stato è vuoto
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 9 vertici e 14 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 9|E| = 14
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
156141538587ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Risposta

A · O(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Per un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento

Perché è questa la risposta

Il problema della fermata non ha alcun algoritmo; un problema NP-difficile come il TSP si può risolvere con la forza bruta, solo non in un tempo polinomiale noto.

Risposta

B · Per un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento
3.Strutture dati

Risposta: D · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici

Perché è questa la risposta

La completezza significa che non ci sono buchi, quindi i figli dell'indice i si trovano sempre a 2i + 1 e 2i + 2.

Risposta

D · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture dati

Risposta: A · Mantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata

Perché è questa la risposta

Con un contatore, vuoto significa count = 0 e pieno significa count = capacità; con una posizione sempre vuota, pieno si definisce come (rear + 1) mod n == front.

Risposta

A · Mantenere un contatore separato degli elementi, oppure lasciare sempre una posizione inutilizzata
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 6

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

9 − 1 = 8

Lati da togliere

k = 14 − 8 = 6

Risposta

k = 6
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 24

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 15
B (15): D: 21, G: 20
G (20): E: 27
D (21): F: 24
F (24)
E (27): C: 41
C (41)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 24

Risposta

d(F) = 24

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