Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un quicksort usa sempre il primo elemento come pivot. Su quale input mostra il comportamento del caso peggiore?

  1. AUn array in ordine casuale
  2. BUn array già ordinato
  3. CUn array con elementi tutti diversi
  4. DUn array di lunghezza 2
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Strutture datiMedia

Quanto tempo serve per verificare se l'arco (u, v) esiste usando una matrice di adiacenza?

  1. AO(log V)
  2. BO(V)
  3. CO(E)
  4. DO(1)
4.Strutture datiDifficile

Quali sono i costi in tempo e in spazio aggiuntivo dell'inversione sul posto di una lista concatenata semplice?

  1. ATempo O(n) e spazio aggiuntivo O(n)
  2. BTempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)
  3. CTempo O(1) e spazio aggiuntivo O(1)
  4. DTempo O(n log n) e spazio aggiuntivo O(1)
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 4, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 32 × deg 4
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
161983962018ABCDEF

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice A. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 5.

partenza: Ak = 5
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato DE
  6. 6lato DF
  7. 7lato EF
  8. 8lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Un array già ordinato

Perché è questa la risposta

Su un input ordinato il pivot è sempre il minimo, quindi una parte è vuota e l'altra ha n − 1 elementi, da cui O(n²).

Risposta

B · Un array già ordinato
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Θ(n log² n)

Perché è questa la risposta

Il livello k svolge circa n log(n / 2ᵏ) lavoro, e sommando sui log n livelli si ottiene Θ(n log² n), il secondo caso esteso del teorema dell'esperto.

Risposta

B · Θ(n log² n)
3.Strutture dati

Risposta: D · O(1)

Perché è questa la risposta

L'elemento della matrice alla riga u, colonna v indica immediatamente se l'arco esiste; con una lista di adiacenza può essere necessario scorrere i vicini di u.

Risposta

D · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: B · Tempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)

Perché è questa la risposta

Mantenendo tre puntatori (precedente, corrente, successivo) si può invertire ogni collegamento in un solo passaggio senza allocare nuovi nodi.

Risposta

B · Tempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 9

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 17 = 2(L + 5) − 2
L = 9

Risposta

L = 9

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato DE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. AB (16)
2. BD (3)
3. DF (6)
4. BC (8)
5. DE (9)

lato numero 5

DE

Risposta

lato DE

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