Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è il tempo di esecuzione del radix sort LSD su n interi con d cifre in base k?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la complessità temporale di: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) lavoro O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.Strutture datiMedia

Quale condizione di bilanciamento mantiene un albero AVL in ogni nodo?

  1. ALe altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
  2. BOgni nodo è colorato di rosso o di nero
  3. CTutte le foglie sono esattamente alla stessa profondità
  4. DI due sottoalberi di ogni nodo contengono esattamente lo stesso numero di nodi
4.Strutture datiDifficile

In che modo un radix tree (trie compresso) migliora un trie semplice?

  1. AFonde le catene di nodi con un solo figlio in un unico arco etichettato con una stringa
  2. BMemorizza ogni parola in una tabella hash alla radice invece che in nodi separati
  3. COrdina i figli di ogni nodo per frequenza
  4. DConserva solo la prima lettera di ogni parola
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
1219316613201710ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(d(n + k))

Perché è questa la risposta

Ciascuna delle d passate è un counting sort che costa O(n + k), quindi per d e k fissati il totale è lineare in n.

Risposta

B · O(d(n + k))
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Il totale è n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e il numero armonico Hn è Θ(log n).

Risposta

C · O(n log n)
3.Strutture dati

Risposta: A · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1

Perché è questa la risposta

Il fattore di bilanciamento (altezza sinistra − altezza destra) deve essere −1, 0 o 1; le rotazioni lo ripristinano dopo inserimenti e cancellazioni.

Risposta

A · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
4.Strutture dati

Risposta: A · Fonde le catene di nodi con un solo figlio in un unico arco etichettato con una stringa

Perché è questa la risposta

Comprimere i cammini privi di ramificazioni riduce il numero di nodi e la memoria usata, mantenendo la ricerca per prefisso.

Risposta

A · Fonde le catene di nodi con un solo figlio in un unico arco etichettato con una stringa
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 63

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

CE (3): prendi
DF (6): prendi
GE (10): prendi
AC (12): prendi
EF (13): prendi
DE (16): salta, chiude un ciclo
GD (17): salta, chiude un ciclo
BC (19): prendi

Peso totale

W = 3 + 6 + 10 + 12 + 13 + 19 = 63

Risposta

W = 63

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