Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Ordini una volta un array di n elementi e poi rispondi a k query di appartenenza con la ricerca binaria. Qual è il costo totale?

  1. AO(n + k)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché qualsiasi ricerca basata su confronti in un array ordinato richiede Ω(log n) confronti nel caso peggiore?

  1. AOgni confronto richiede un tempo logaritmico
  2. BUn albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
  3. CLa ricerca binaria è l'unico algoritmo possibile e richiede log₂ n confronti
  4. DOgni elemento deve essere confrontato almeno una volta
3.Strutture datiMedia

Un trie (albero dei prefissi) è particolarmente efficiente per:

  1. ARicerche per prefisso, come il completamento automatico
  2. BMemorizzare matrici
  3. CTrovare cammini minimi
  4. DOrdinare numeri
4.Strutture datiDifficile

Quanto tempo serve per cercare una chiave arbitraria in un min-heap binario di n elementi?

  1. AO(1)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
67151215182ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n log n + k log n)

Perché è questa la risposta

L'ordinamento costa O(n log n) e ogni query O(log n); questo batte k scansioni lineari (O(nk)) quando k è grande.

Risposta

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n

Perché è questa la risposta

Ogni confronto al massimo dimezza l'insieme delle possibilità rimanenti, quindi distinguere n posizioni richiede almeno log₂ n confronti.

Risposta

B · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
3.Strutture dati

Risposta: A · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico

Perché è questa la risposta

I trie memorizzano le stringhe carattere per carattere lungo i percorsi, quindi ricerche e interrogazioni per prefisso richiedono un tempo proporzionale alla lunghezza della chiave.

Risposta

A · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico
4.Strutture dati

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

Un heap non fornisce alcuna regola su quale sottoalbero contenga una chiave, quindi nel caso peggiore bisogna controllare tutti i nodi; solo il minimo si trova rapidamente.

Risposta

D · O(n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 32

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

BC (1): prendi
BE (2): prendi
BD (5): prendi
AB (6): prendi
AC (7): salta, chiude un ciclo
CE (12): salta, chiude un ciclo
DE (15): salta, chiude un ciclo
DF (18): prendi

Peso totale

W = 1 + 2 + 5 + 6 + 18 = 32

Risposta

W = 32

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