Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale tecnica garantisce al quicksort un tempo di esecuzione atteso O(n log n) su qualsiasi input?

  1. AOrdinare l'input prima di eseguire il quicksort
  2. BScegliere il pivot in modo uniformemente casuale
  3. CUsare la ricorsione solo sul lato sinistro
  4. DScegliere sempre il primo elemento
3.Strutture datiMedia

Le chiavi 50, 30, 70, 20, 40 vengono inserite in quest'ordine in un albero binario di ricerca vuoto. Qual è il figlio sinistro di 30?

  1. A40
  2. B20
  3. C50
  4. D70
4.Strutture datiDifficile

Quale coppia di visite determina sempre un unico albero binario con chiavi distinte?

  1. AIl solo preordine
  2. BPreordine e ordine simmetrico (inorder)
  3. CPreordine e postordine
  4. DLa sola visita per livelli
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
208117919141116ABCDEF

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4; i lati saltati non contano.

k = 4
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato DF
  8. 8lato EF
  9. 9lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) nlog₂ 2 = n domina il lavoro costante, quindi T(n) = Θ(n), come quando si trova il massimo dividendo a metà.

Risposta

B · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Scegliere il pivot in modo uniformemente casuale

Perché è questa la risposta

Con un pivot casuale il tempo atteso è O(n log n) per ogni input; i casi sfavorevoli esistono ancora ma sono molto improbabili.

Risposta

B · Scegliere il pivot in modo uniformemente casuale
3.Strutture dati

Risposta: B · 20

Perché è questa la risposta

20 è minore di 50 e minore di 30, quindi diventa il figlio sinistro di 30; 40 diventa il suo figlio destro.

Risposta

B · 20
4.Strutture dati

Risposta: B · Preordine e ordine simmetrico (inorder)

Perché è questa la risposta

Il preordine dà la radice, e la sua posizione nella sequenza in ordine separa i sottoalberi sinistro e destro; preordine e postordine sono ambigui quando un nodo ha un solo figlio.

Risposta

B · Preordine e ordine simmetrico (inorder)
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Vertici dispari

C, E, F, G → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato EF

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. BC (1)
2. AC (8)
3. CE (9)
4. EF (11)
5. DF (14)

lato numero 4

EF

Risposta

lato EF

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