Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale definizione della classe P è corretta?

  1. AProblemi le cui soluzioni si possono verificare ma mai trovare in tempo polinomiale
  2. BProblemi che richiedono tempo esponenziale su ogni computer
  3. CProblemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale
  4. DProblemi che si possono risolvere in parallelo
3.Strutture datiMedia

Quanto dura la ricerca di una parola di lunghezza L in un trie con alfabeto fisso?

  1. AO(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate
  2. BO(log n), dove n è il numero di parole
  3. CO(L × n)
  4. DO(n), dove n è il numero di parole
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà deve soddisfare un albero rosso-nero?

  1. AOgni nodo rosso deve avere figli rossi, quindi i nodi rossi formano sempre catene ininterrotte fino alle foglie
  2. BOgni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
  3. CLa radice deve essere rossa
  4. DOgni nodo deve essere rosso
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 14 vertici e 21 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 14|E| = 21
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
18910156173418712ABCDEFG

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice B. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 6.

partenza: Bk = 6
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato DF
  8. 8lato EF
  9. 9lato GB
  10. 10lato GC
  11. 11lato GD
  12. 12lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(2ⁿ)

Perché è questa la risposta

Il numero di chiamate raddoppia a ogni livello e ci sono n livelli, quindi il totale è circa 2ⁿ, come nella Torre di Hanoi.

Risposta

C · O(2ⁿ)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Problemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale

Perché è questa la risposta

P contiene i problemi decisionali con un algoritmo deterministico in tempo polinomiale, come verificare se un grafo è connesso.

Risposta

C · Problemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale
3.Strutture dati

Risposta: A · O(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate

Perché è questa la risposta

Ogni carattere seleziona un figlio, quindi una ricerca richiede L passi qualunque sia il numero di parole contenute nel trie.

Risposta

A · O(L), indipendentemente da quante parole sono memorizzate
4.Strutture dati

Risposta: B · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

Perché è questa la risposta

Regole rosso-nero: i nodi sono rossi o neri, la radice è nera, i nodi rossi hanno figli neri e tutti i cammini hanno la stessa altezza nera, mantenendo l'altezza ≤ 2 log₂(n + 1).

Risposta

B · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

14 − 1 = 13

Lati da togliere

k = 21 − 13 = 8

Risposta

k = 8
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato AC

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. GB (1)
2. GD (7)
3. DF (3)
4. EF (4)
5. CE (6)
6. AC (9)

lato numero 6

AC

Risposta

lato AC

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