Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Una funzione esegue un ciclo di n iterazioni e poi, separatamente, un altro ciclo di n iterazioni. Qual è la sua complessità temporale?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale algoritmo trova un albero ricoprente minimo aggiungendo ripetutamente l'arco più economico che non forma un ciclo?

  1. AAlgoritmo di Kruskal
  2. BFloyd-Warshall
  3. CAlgoritmo di Dijkstra
  4. DAlgoritmo di Prim a partire da un nodo
3.Strutture datiMedia

Un'applicazione ha bisogno di ricerche veloci, ma deve anche elencare le chiavi in ordine e rispondere a interrogazioni su intervalli. Quale struttura è la più adatta?

  1. AUna pila
  2. BUn albero binario di ricerca bilanciato
  3. CUna lista concatenata non ordinata
  4. DUna tabella hash
4.Strutture datiDifficile

Un albero di Fenwick (binary indexed tree) su un array di n numeri supporta quali operazioni in O(log n)?

  1. AOrdinamento dell'array e ricerca binaria
  2. BInserimento di elementi in qualsiasi posizione
  3. CRicerca della mediana in O(1)
  4. DInterrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 13 vertici e 21 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 13|E| = 21
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
10141396192ABCDE

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice C. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4.

partenza: Ck = 4
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

n + n = 2n, e i fattori costanti si eliminano, quindi la funzione è O(n).

Risposta

A · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Algoritmo di Kruskal

Perché è questa la risposta

Kruskal ordina gli archi per peso e li aggiunge se collegano componenti diverse; Prim fa crescere un unico albero a partire da un vertice iniziale.

Risposta

A · Algoritmo di Kruskal
3.Strutture dati

Risposta: B · Un albero binario di ricerca bilanciato

Perché è questa la risposta

Un BST bilanciato offre ricerche in O(log n) e mantiene le chiavi ordinate, quindi la visita in ordine e le interrogazioni su intervalli sono semplici; una tabella hash sparpaglia le chiavi.

Risposta

B · Un albero binario di ricerca bilanciato
4.Strutture dati

Risposta: D · Interrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi

Perché è questa la risposta

Un albero di Fenwick memorizza somme parziali su intervalli determinati dai bit meno significativi di ogni indice, quindi sia le somme prefisse sia gli aggiornamenti puntuali richiedono O(log n).

Risposta

D · Interrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 9

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

13 − 1 = 12

Lati da togliere

k = 21 − 12 = 9

Risposta

k = 9
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato AB

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. CE (6)
2. BE (2)
3. BD (9)
4. AB (10)

lato numero 4

AB

Risposta

lato AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms