Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale della moltiplicazione di due matrici n × n con il triplo ciclo standard?

AO(n³)
BO(n²)
CO(n² log n)
DO(n)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché la ricerca binaria non dà tempo O(log n) su una lista concatenata semplice?

ARaggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
BI confronti sui nodi di una lista concatenata sono più lenti
CLa ricerca binaria richiede almeno il doppio della memoria
DLe liste concatenate non si possono ordinare

3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa un programma in esecuzione per tenere traccia delle chiamate di funzione attive e delle loro variabili locali?

ALa coda della memoria heap
BUna tabella hash di funzioni
CUn albero binario di ricerca di frame
DLo stack delle chiamate

4.Strutture datiDifficile

La complessità temporale di decrease-key in un heap binario (nota la posizione dell'elemento) è:

AO(n)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(1)

5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 17 vertici e 28 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 17|E| = 28

k =

6.Teoria dei grafiDifficile

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F

d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n³)

Perché è questa la risposta

Ci sono n² voci e ciascuna richiede n moltiplicazioni, per un totale di n³ operazioni.

Risposta

A · O(n³)

2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice

Perché è questa la risposta

La ricerca binaria richiede accesso O(1) all'elemento centrale; su una lista concatenata arrivarci costa tempo lineare, quindi il totale è O(n).

Risposta

A · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice

3.Strutture dati

Risposta: D · Lo stack delle chiamate

Perché è questa la risposta

Ogni chiamata inserisce un record di attivazione (stack frame) e ogni ritorno lo estrae, ed è per questo che la chiamata più recente termina per prima.

Risposta

D · Lo stack delle chiamate

4.Strutture dati

Risposta: C · O(log n)

Perché è questa la risposta

Dopo aver diminuito la chiave, l'elemento risale (sift-up) al massimo per l'altezza dell'heap. Gli heap di Fibonacci ottengono decrease-key in O(1) ammortizzato.

Risposta

C · O(log n)

5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

17 − 1 = 16

Lati da togliere

k = 28 − 16 = 12

Risposta

k = 12

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 16

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 5, C: 5

B (5): D: 11, E: 13

C (5)

D (11): F: 23

E (13): F: 16

F (16)

Cammino minimo

A → B → E → F

d(F) = 16

Risposta

d(F) = 16

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