Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quanti livelli ha la ricorsione del merge sort per un array di n elementi?

  1. ACirca √n
  2. BCirca log₂ n
  3. CCirca n
  4. DCirca n / 2
2.Algoritmi e complessitàDifficile

La moltiplicazione di Karatsuba soddisfa T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual è la soluzione?

  1. AΘ(nlog₂ 3), circa n1,585
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Strutture datiMedia

In una coda circolare memorizzata in un array di capacità n, come si calcola la posizione successiva all'indice i?

  1. A(i + 1) mod n
  2. B(i − 1) mod n
  3. C2i + 1
  4. Di + 1
4.Strutture datiDifficile

Perché un server potrebbe scegliere a caso la propria funzione hash da una famiglia universale?

  1. APer rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
  2. BPer eliminare la necessità di ridimensionare la tabella
  3. CPer rendere ordinata la tabella hash
  4. DPer garantire che due chiavi non collidano mai, qualunque chiave invii un attaccante
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1114141012888ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Circa log₂ n

Perché è questa la risposta

Dimezzare da n fino a 1 richiede circa log₂ n livelli, e ogni livello svolge O(n) lavoro di fusione, da cui O(n log n).

Risposta

B · Circa log₂ n
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585

Perché è questa la risposta

Poiché log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, per il teorema dell'esperto dominano le foglie, battendo il metodo scolastico O(n²).

Risposta

A · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585
3.Strutture dati

Risposta: A · (i + 1) mod n

Perché è questa la risposta

L'operazione modulo riporta l'indice n − 1 a 0, così l'array viene riutilizzato senza spostare elementi.

Risposta

A · (i + 1) mod n
4.Strutture dati

Risposta: A · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte

Perché è questa la risposta

Con l'hashing universale il numero atteso di collisioni è piccolo per qualsiasi insieme di chiavi, perché l'attaccante non sa quale funzione è stata scelta.

Risposta

A · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 11

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

Risposta

L = 11

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 17

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 1, C: 11
B (1): C: 5, D: 15, E: 9
C (5)
E (9): F: 17
D (15)
F (17)

Cammino minimo

A → B → E → F
d(F) = 17

Risposta

d(F) = 17

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