Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale della moltiplicazione di due matrici n × n con il triplo ciclo standard?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'insertion sort richiede O(n) su un input ordinato. Questo contraddice il limite inferiore Ω(n log n) per l'ordinamento per confronti?

  1. ASì, quindi il limite inferiore è sbagliato
  2. BNo, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input
  3. CSì, ma solo per array più corti di 100
  4. DNo, perché l'insertion sort non è un ordinamento per confronti
3.Strutture datiMedia

Gli alberi AVL e gli alberi rosso-neri garantiscono:

  1. AChe le chiavi siano memorizzate in ordine di inserimento
  2. BUn'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento
  3. CUna ricerca in tempo costante in ogni caso
  4. DChe nessun nodo abbia due figli
4.Strutture datiDifficile

Come si può rilevare se una lista concatenata semplice contiene un ciclo usando O(1) memoria aggiuntiva?

  1. ASi contano i nodi finché il conteggio supera il campo lunghezza della lista
  2. BSi memorizza ogni nodo visitato in un hash set
  3. CSi ordina la lista e si cercano i duplicati
  4. DSi muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 34 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in F? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n³)

Perché è questa la risposta

Ci sono n² voci e ciascuna richiede n moltiplicazioni, per un totale di n³ operazioni.

Risposta

B · O(n³)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · No, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input

Perché è questa la risposta

Il limite dice che ogni ordinamento per confronti richiede circa n log n confronti su qualche input di dimensione n; input particolari possono essere molto più veloci.

Risposta

B · No, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input
3.Strutture dati

Risposta: B · Un'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento

Perché è questa la risposta

Gli alberi autobilancianti mantengono un'altezza logaritmica, quindi ricerca, inserimento e cancellazione sono O(log n) nel caso peggiore.

Risposta

B · Un'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento
4.Strutture dati

Risposta: D · Si muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano

Perché è questa la risposta

Nell'algoritmo di Floyd, se c'è un ciclo il puntatore veloce prima o poi raggiunge quello lento; altrimenti il puntatore veloce arriva a null.

Risposta

D · Si muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 6

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 20 = 2(L + 8) − 2
L = 6

Risposta

L = 6

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vicini comuni

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 2

Risposta

N = 2

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