Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

AO(n²)
BO(log n)
CO(n)
DO(n log n)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

2²ⁿ è in O(2ⁿ)?

ASì, perché i fattori costanti nell'esponente si ignorano sempre nell'O grande
BNo, perché 2²ⁿ = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
CSì, perché sono entrambi esponenziali
DNo, perché 2²ⁿ cresce più lentamente di 2ⁿ

3.Strutture datiMedia

Un trie (albero dei prefissi) è particolarmente efficiente per:

AMemorizzare matrici
BOrdinare numeri
CRicerche per prefisso, come il completamento automatico
DTrovare cammini minimi

4.Strutture datiDifficile

Che cosa fa uno splay tree dopo ogni accesso?

APorta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice
BSposta il nodo acceduto in una foglia
CRicolora i nodi lungo il cammino di ricerca
DRicostruisce l'intero albero in forma bilanciata

5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 12 vertici e 12 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 12|E| = 12

k =

6.Teoria dei grafiDifficile

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) n^{log₂ 2} = n domina il lavoro costante, quindi T(n) = Θ(n), come quando si trova il massimo dividendo a metà.

Risposta

C · O(n)

2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · No, perché 2²ⁿ = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite

Perché è questa la risposta

Una costante sommata all'esponente dà un fattore costante, ma una costante che moltiplica l'esponente cambia la base e il tasso di crescita.

Risposta

B · No, perché 2²ⁿ = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite

3.Strutture dati

Risposta: C · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico

Perché è questa la risposta

I trie memorizzano le stringhe carattere per carattere lungo i percorsi, quindi ricerche e interrogazioni per prefisso richiedono un tempo proporzionale alla lunghezza della chiave.

Risposta

C · Ricerche per prefisso, come il completamento automatico

4.Strutture dati

Risposta: A · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice

Perché è questa la risposta

L'operazione di splay sposta il nodo acceduto nella radice tramite rotazioni; una singola operazione può costare O(n), ma il costo ammortizzato è O(log n).

Risposta

A · Porta con rotazioni il nodo acceduto fino alla radice

5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 1

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

12 − 1 = 11

Lati da togliere

k = 12 − 11 = 1

Risposta

k = 1

6.Teoria dei grafi

Risposta: G

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 6, C: 15

2. B (6): C: 14, D: 17, G: 17

3. C (14): E: 25, G: 16

4. G (16)

5. D (17): E: 20, F: 21

6. E (20)

7. F (21)

passo 4

Risposta

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