Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La visita in ampiezza (BFS) su un grafo non pesato trova:

  1. AI cammini minimi in grafi che contengono archi con peso negativo
  2. BI cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
  3. CUn ordinamento topologico in tutti i grafi
  4. DL'albero ricoprente minimo
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il tempo di esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra con uno heap binario su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V³)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
3.Strutture datiMedia

Che cosa è vero per la matrice di adiacenza di un grafo non orientato?

  1. ALa sua diagonale principale contiene sempre degli uno
  2. BOgni riga contiene esattamente un 1
  3. CÈ simmetrica rispetto alla diagonale principale
  4. DÈ sempre triangolare superiore
4.Strutture datiDifficile

La complessità temporale di decrease-key in un heap binario (nota la posizione dell'elemento) è:

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K7? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K7
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
12361551419129ABCDEFG

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 3; i lati saltati non contano.

k = 3
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato CE
  5. 5lato DE
  6. 6lato DF
  7. 7lato EF
  8. 8lato GB
  9. 9lato GC
  10. 10lato GD

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza

Perché è questa la risposta

La BFS visita i nodi in ordine di distanza (in archi) dalla sorgente, quindi trova i cammini minimi non pesati in O(V + E).

Risposta

B · I cammini minimi in numero di archi dal nodo di partenza
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O((V + E) log V)

Perché è questa la risposta

Ci sono V operazioni extract-min e fino a E operazioni decrease-key, ciascuna O(log V); uno heap di Fibonacci migliora a O(E + V log V).

Risposta

B · O((V + E) log V)
3.Strutture dati

Risposta: C · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

Perché è questa la risposta

In un grafo non orientato l'arco {u, v} implica che siano impostati sia M[u][v] sia M[v][u], quindi la matrice coincide con la sua trasposta.

Risposta

C · È simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture dati

Risposta: B · O(log n)

Perché è questa la risposta

Dopo aver diminuito la chiave, l'elemento risale (sift-up) al massimo per l'altezza dell'heap. Gli heap di Fibonacci ottengono decrease-key in O(1) ammortizzato.

Risposta

B · O(log n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 360

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Risposta

H = 360
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato AC

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. GB (1)
2. GC (2)
3. AC (3)
4. DE (5)
5. GD (9)
6. DF (14)

lato numero 3

AC

Risposta

lato AC

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