Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

È corretto dire che un algoritmo O(n²) è anche O(n³)?

  1. ASì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³
  2. BNo, perché l'O grande deve indicare sempre l'esatto tasso di crescita della funzione
  3. CNo, perché per n grande n³ è minore di n²
  4. DSì, ma solo se n è minore di 100
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il costo ammortizzato dell'incremento di un contatore binario, dato che un incremento può invertire molti bit?

  1. AO(1) per incremento
  2. BO(n) per incremento
  3. CO(log n) per incremento
  4. DO(n log n) per incremento
3.Strutture datiMedia

Gli alberi AVL e gli alberi rosso-neri garantiscono:

  1. AChe le chiavi siano memorizzate in ordine di inserimento
  2. BChe nessun nodo abbia due figli
  3. CUna ricerca in tempo costante in ogni caso
  4. DUn'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento
4.Strutture datiDifficile

Un filtro di Bloom può rispondere alla domanda «questo elemento è nell'insieme?» con:

  1. APossibili falsi positivi ma nessun falso negativo
  2. BRisposte sempre esatte
  3. CRisposte solo per numeri
  4. DPossibili falsi negativi ma nessun falso positivo
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K5? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K5
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da D a A? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Sì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³

Perché è questa la risposta

L'O grande è un limite superiore, quindi l'affermazione è vera ma non stretta; Θ(n²) indica il tasso di crescita esatto.

Risposta

A · Sì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(1) per incremento

Perché è questa la risposta

Su n incrementi il bit i si inverte circa n / 2ⁱ volte, quindi il totale è inferiore a 2n inversioni, in media O(1) ciascuno.

Risposta

A · O(1) per incremento
3.Strutture dati

Risposta: D · Un'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento

Perché è questa la risposta

Gli alberi autobilancianti mantengono un'altezza logaritmica, quindi ricerca, inserimento e cancellazione sono O(log n) nel caso peggiore.

Risposta

D · Un'altezza O(log n) tramite il ribilanciamento
4.Strutture dati

Risposta: A · Possibili falsi positivi ma nessun falso negativo

Perché è questa la risposta

Se uno qualsiasi dei bit di un elemento è 0, l'elemento è sicuramente assente; se sono tutti 1, è probabilmente presente. I filtri di Bloom sacrificano la precisione in cambio di pochissima memoria.

Risposta

A · Possibili falsi positivi ma nessun falso negativo
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Risposta

H = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 3

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Un altro passo

(M³)DA = 1·0 + 1·1 + 2·1 + 2·0 + 1·0 = 3

Risposta

N = 3

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